Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (√(x² + 8x) − x).

f(x) = √(x² + 8x) − xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(2x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 5x)/(2x²)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·sin(2x), dengan x dalam radian. Cari f′(1).

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 3x² − 2 pada x = 1 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 3x² − 2x = 1

b =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₁³ 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 3]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = 0.5x² dan y = x.

y = 0.5x²y = x

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Diberi z₁ = 3∠−35° dan z₂ = 0.5∠80°, cari argumen θ bagi w = z₁·z₂ dalam darjah, antara −180° dengan 180°.

z₁ = 3∠−35°z₂ = 0.5∠80°

θ = °

8.Nombor kompleksSukar

Persamaan z² + 3z + 18.25 = 0 mempunyai dua punca kompleks. Cari modulusnya |z|.

p = 3q = 18.25

|z| =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 5y′ + 4y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 1. Cari y(2).

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = 1

y(2) =

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan masalah nilai awal y′ + 3y/x = 3x bagi x > 0, dengan y(1) = 4. Cari y(3).

y′ + 3y/x = 3xy(1) = 4

y(3) =

11.Matriks & penentuSederhana

Biar C = AB bagi matriks yang ditunjukkan. Cari unsur c₂₂ (baris 2, lajur 2).

A = [2 −3; 5 −2]B = [0 −4; 5 −5]

c₂₂ =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem −5x + 3y = −8 dan −5x − 6y = 9. Cari x.

−5x + 3y = −8−5x − 6y = 9

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari hasil darab titik a·b bagi a = (1, 3, 7) dan b = (1, 2, −2).

a = (1, 3, 7)b = (1, 2, −2)

a·b =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari luas A segi empat selari yang direntangi oleh a = (−2, 5, 4) dan b = (5, −1, −5).

a = (−2, 5, 4)b = (5, −1, −5)

A =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.3, 0.2, 0.05, 0.35

σ =

16.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €2 untuk dimain. Anda menang €6 dengan kebarangkalian 0.15 dan €20 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €2€6: p = 0.15€20: p = 0.01

E(G) = €

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 50, 53, 16, 53, 40, 60.

n = 6

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 63.6?

μ = 70σ = 8x = 63.6

P =

19.Taburan normalSederhana

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 70 dan 107.5 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 100σ = 15x₁ = 70x₂ = 107.5

P =

20.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.02 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 4

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = 8x/(√(x² + 8x) + x)

Bahagikan dengan x

f(x) = 8/(√(1 + 8/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = 8/(1 + 1) = 4

Jawapan

L = 4

2.Had

Jawapan: L = 6.25

Penggunaan pertama

5·sin 5x/(4x) → 0/0

Penggunaan kedua

25·cos 5x/4

Gantikan x = 0

L = 25/4 = 6.25

Jawapan

L = 6.25

3.Terbitan

Jawapan: f′(1) = 0.077

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Gantikan

f′(1) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

Jawapan

f′(1) = 0.077

4.Terbitan

Jawapan: b = −5

Titik dan kecerunan

f(1) = 1

f′(x) = 6x → f′(1) = 6

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 1 − 6·1 = −5

Jawapan

b = −5

5.Kamiran

Jawapan: I = 3.296

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = 3·ln x

Nilaikan pada had

I = 3·(ln 3 − ln 1) = 3·ln 3 = 3.296

Jawapan

I = 3.296

6.Kamiran

Jawapan: A = 0.6667

Titik persilangan

0.5x² = x → x = 0, x = 2

Kamirkan atas tolak bawah

A = [0.5x² − 0.1667x³]₀² = 0.6667

Jawapan

A = 0.6667

7.Nombor kompleks

Jawapan: θ = 45 °

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 3 · 0.5 = 1.5

θ = −35° + 80° = 45°

Argumen

θ = 45°

Jawapan

θ = 45°

8.Nombor kompleks

Jawapan: |z| = 4.272

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Pembezalayan

p² − 4q = 9 − 73 = −64 < 0

Rumus kuadratik

z = (−3 ± j√64)/2 = −1.5 + j4, −1.5 − j4

Jawapan

|z| = √((−1.5)² + 4²) = √18.25 = 4.272

Jawapan

|z| = 4.272

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 0.4057

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca ciri

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

Pemalar daripada nilai awal

A + B = 2, −1A − 4B = 1

A = 3, B = −1

Nilaikan

y(2) = 3·e⁻² + (−1)·e⁻⁸ = 0.4057

Jawapan

y(2) = 0.4057

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(3) = 5.526

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Faktor pengamiran

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Kamirkan

(x³y)′ = 3x⁴ → x³y = 3x⁵/5 + C

Syarat awal

4 = 3/5 + C → C = 3.4

Nilaikan

y(3) = (3·3⁵/5 + 3.4)/3³ = 5.526

Jawapan

y(3) = 5.526

11.Matriks & penentu

Jawapan: c₂₂ = −10

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Baris darab lajur

c₂₂ = 5·(−4) + (−2)·(−5) = −10

Jawapan

c₂₂ = −10

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = 0.4667

Penentu matriks pekali

det A = (−5)·(−6) − 3·(−5) = 45

Gantikan lajur x

det Aₓ = (−8)·(−6) − 3·9 = 21

x = 21/45 = 0.4667

Jawapan

x = 0.4667

y = −1.889

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: a·b = −7

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Darabkan komponen yang sepadan dan tambah

a·b = 1·1 + 3·2 + 7·(−2) = 1 + 6 + (−14) = −7

Jawapan

a·b = −7

Negatif: sudut antara vektor lebih daripada 90°.

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: A = 32.71

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−5) − 4·(−1) = −21

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·5 − (−2)·(−5) = 10

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·(−1) − 5·5 = −23

Luas

A = |a × b| = √((−21)² + 10² + (−23)²) = 32.71

Jawapan

A = 32.71

15.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.445

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.1 + 1·0.3 + 2·0.2 + 3·0.05 + 4·0.35 = 2.25

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.3 + 4·0.2 + 9·0.05 + 16·0.35 = 7.15

Varians

Var(X) = 7.15 − 2.25² = 2.087

σ = √2.087 = 1.445

Jawapan

σ = 1.445

16.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = −0.9 €

Hasil bersih

G: 4 (p = 0.15), 18 (p = 0.01), −2 (p = 0.84)

Nilai jangkaan

E(G) = 4·0.15 + 18·0.01 − 2·0.84 = −0.9 €

Jawapan

E(G) = −0.9 €

Nilai negatif bermaksud anda kehilangan wang secara purata.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 15.77

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 272/6 = 45.33

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 4.667² + 7.667² + (−29.33)² + 7.667² + (−5.333)² + 14.67² = 1243

Sisihan piawai

s = √(1243/5) = 15.77

Jawapan

s = 15.77

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.7881

Piawaikan

z = −0.8

Jadual normal piawai

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 1 − 0.2119 = 0.7881

Jawapan

P = 0.7881

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6687

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (70 − 100)/15 = −2

z₂ = (107.5 − 100)/15 = 0.5

Luas antara

P = Φ(0.5) − Φ(−2) = 0.6915 − 0.02275 = 0.6687

Jawapan

P = 0.6687

20.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8665

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01803 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.02)/0.01803 = −1.11

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.11) = 0.8665

Jawapan

P = 0.8665

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics