Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (√(x² − 10x) − x).

f(x) = √(x² − 10x) − xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x².

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = ln(x² + 5). Cari f′(−2).

f(x) = ln(x² + 5)x = −2

f′(−2) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 3x² − 4x + 2 pada x = 2 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 3x² − 4x + 2x = 2

b =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

6.KamiranSukar

Rantau antara garis y = 5x dan parabola y = 2x² diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu.

y = 5xy = 2x²

V =

7.Nombor kompleksSederhana

Diberi z₁ = 2.5∠100° dan z₂ = 2∠80°, cari bahagian nyata w = z₁·z₂.

z₁ = 2.5∠100°z₂ = 2∠80°

Re(w) =

8.Nombor kompleksSukar

Punca bagi zⁿ = w dengan n = 3 dan w = 27∠60° ialah z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2. Cari bahagian khayalan z₂.

w = 27∠60°n = 3k = 2

Im(z₂) =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 8y′ + 16y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 2. Cari y(2).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = 2

y(2) =

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y″ + 2y′ + 26y = 0 dengan y(0) = 1 dan y′(0) = 0 (dilepaskan dari pegun). Cari y(0.75); sudut dalam radian.

y″ + 2y′ + 26y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(0.75) =

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [5 −2 4; 3 5 −3; −3 −5 −3]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.

A = [4 1; 8 2]

λ =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari nilai k supaya vektor a = (−5, 1, 0) dan b = (k, −2, 6) berserenjang.

a = (−5, 1, 0)b = (k, −2, 6)

k =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Daya F = (10, 30, 30) N bertindak pada titik A(−1, −3, 3). Koordinat dalam meter. Cari komponen-y M_y momen daya terhadap titik O(3, 2, −2).

F = (10, 30, 30) NA(−1, −3, 3) mO(3, 2, −2) m

M_y = N·m

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.1, 0.3, 0.3, 0.25, 0.05

Var(X) =

16.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €5 untuk dimain. Anda menang €20 dengan kebarangkalian 0.15 dan €100 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €5€20: p = 0.15€100: p = 0.05

E(G) = €

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 26, 39, 14, 27, 10, 12.

n = 6

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 20. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 112?

μ = 100σ = 20x = 112

P =

19.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.4971. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.4971

z =

20.Taburan normalSukar

Ketinggian X lelaki dan Y wanita dalam satu kumpulan adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 180 cm dan sisihan piawai 10 cm, Y mempunyai min 170 cm dan sisihan piawai 12 cm. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = −5

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = −10x/(√(x² − 10x) + x)

Bahagikan dengan x

f(x) = −10/(√(1 + (−10)/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = −10/(1 + 1) = −5

Jawapan

L = −5

2.Had

Jawapan: L = 2

Penggunaan pertama

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

4·e^−2x/2

Gantikan x = 0

L = 4·1/2 = 2

Jawapan

L = 2

3.Terbitan

Jawapan: f′(−2) = −0.4444

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai untuk logaritma

f′(x) = 2x/(x² + 5)

Gantikan

f′(−2) = −4/9 = −0.4444

Jawapan

f′(−2) = −0.4444

4.Terbitan

Jawapan: b = −10

Titik dan kecerunan

f(2) = 6

f′(x) = 6x − 4 → f′(2) = 8

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − 8·2 = −10

Jawapan

b = −10

5.Kamiran

Jawapan: I = 156

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Penggantian

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

Kamirkan dan nilaikan

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

Jawapan

I = 156

6.Kamiran

Jawapan: V = 163.6

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Titik persilangan

5x = 2x² → x = 0, x = 2.5

Kaedah sesendal

V = π∫₀^2.5 ((5x)² − (2x²)²) dx

Kamirkan

V = π(25·2.5³/3 − 4·2.5⁵/5) = π·52.08 = 163.6

Jawapan

V = 163.6

7.Nombor kompleks

Jawapan: Re(w) = −5

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 2.5 · 2 = 5

θ = 100° + 80° = 180°

Bentuk Cartes

Re(w) = 5·cos(180°) = −5

Im(w) = 5·sin(180°) = 0

Re(w) = −5

Jawapan

Re(w) = −5

8.Nombor kompleks

Jawapan: Im(z₂) = −2.954

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus punca-punca

27^1/3 = 3

Argumen punca

θ₂ = (60° + 360°·2)/3 = 260° → −100°

Bentuk Cartes

z₂ = 3·(cos −100° + j sin −100°) = −0.5209 − j2.954

Im(z₂) = −2.954

Jawapan

Im(z₂) = −2.954

3 punca terletak pada bulatan berjejari 3, berjarak 120°.

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 0.00738

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca berganda

(r + 4)² = 0 → r = −4

Pemalar

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 4A → B = 2 + 8 = 10

Nilaikan

y(2) = (2 + 10·2)·e⁻⁸ = 0.00738

Jawapan

y(2) = 0.00738

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(0.75) = −0.4416

Punca kompleks

r = −1 ± 5j

Pemalar

A = 1, B = 1·1/5 = 0.2

Nilaikan

y(0.75) = e^−0.75(1·cos 3.75 + 0.2·sin 3.75) = −0.4416

Jawapan

y(0.75) = −0.4416

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = −186

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = −30, M₁₂ = −18, M₁₃ = 0

Pengembangan kofaktor

det A = 5·(−30) − (−2)·(−18) + 4·0 = −186

Jawapan

det A = −186

12.Matriks & penentu

Jawapan: λ = 6

Persamaan cirian

λ² − (6)λ + (0) = 0

Selesaikan

λ = (6 ± √(36))/2 → λ = 0, 6

λ = 6

Jawapan

λ = 6

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: k = −0.4

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Hasil darab titik sama dengan sifar

a·b = (−5)·k + 1·(−2) + 0·6 = 0

−2 + (−5)·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −(−2)/(−5) = −0.4

Jawapan

k = −0.4

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: M_y = 170 N·m

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Vektor kedudukan dari O ke A

r = A − O = (−1, −3, 3) − (3, 2, −2) = (−4, −5, 5) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−5)·30 − 5·30 = −300 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 5·10 − (−4)·30 = 170 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−4)·30 − (−5)·10 = −70 N·m

Komponen yang diminta

M_y = 170 N·m

Jawapan

M_y = 170 N·m

15.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 1.128

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.1 + 2·0.3 + 3·0.3 + 4·0.25 + 5·0.05 = 2.85

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.1 + 4·0.3 + 9·0.3 + 16·0.25 + 25·0.05 = 9.25

Varians

Var(X) = 9.25 − 2.85² = 1.128

Jawapan

Var(X) = 1.128

16.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 3 €

Hasil bersih

G: 15 (p = 0.15), 95 (p = 0.05), −5 (p = 0.8)

Nilai jangkaan

E(G) = 15·0.15 + 95·0.05 − 5·0.8 = 3 €

Jawapan

E(G) = 3 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 11.27

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 128/6 = 21.33

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 4.667² + 17.67² + (−7.333)² + 5.667² + (−11.33)² + (−9.333)² = 635.3

Sisihan piawai

s = √(635.3/5) = 11.27

Jawapan

s = 11.27

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.2743

Piawaikan

z = 0.6

Jadual normal piawai

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

Jawapan

P = 0.2743

19.Taburan normal

Jawapan: z = 0.67

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.4971)/2 = 0.7486

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.7486 di dalam jadual dan baca z.

z = 0.67

Jawapan

z = 0.67

20.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7389

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

Piawaikan

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

Jawapan

P = 0.7389

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics