Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (√(x² + 7x) − x).

f(x) = √(x² + 7x) − xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^−0.5x − 1 + 0.5x)/x².

f(x) = (e^−0.5x − 1 + 0.5x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·e^2x. Cari f′(2).

f(x) = x·e^2xx = 2

f′(2) =

4.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ + 1.5x² − 6x + 5. Cari koordinat-x x bagi maksimum setempat.

f(x) = x³ + 1.5x² − 6x + 5

x =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀¹ e^x dx.

f(x) = e^x[0, 1]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 4 − x² dan paksi-x.

y = 4 − x²

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Rajah menunjukkan z = 1 − j. Dengan w = 2∠−90°, klik titik yang mewakili z·w.

z = 1 − jw = 2∠−90°

1A (−1 − j)
2B (2 + j2)
3C (−2 − j2)
4D (2 − j2)

8.Nombor kompleksSukar

Gunakan teorem De Moivre untuk mencari bahagian nyata z³ bagi z = 2 + j2.

z = 2 + j2n = 3

Re(z³) =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Sebuah bahagian keluli tempaan pada 320 °C dibiarkan sejuk di dalam bengkel pada 26 °C. Selepas 18 min suhunya ialah 146 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 233 °C?

T₀ = 320 °CT_a = 26 °CT(18) = 146 °CT = 233 °C

t = min

10.Persamaan pembezaanSukar

Sebuah tangki mengandungi 400 L air yang di dalamnya terlarut 10 kg garam. Air garam dengan 0.2 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 20 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Berapakah jumlah garam m dalam tangki selepas 20 min?

V = 400 Lm₀ = 10 kgc = 0.2 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [4 4 −1; 3 −2 2; −2 −3 −2]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem 5x − 2y = −1 dan 4x + 3y = 2. Cari x.

5x − 2y = −14x + 3y = 2

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari unjuran skalar comp_b a bagi a = (6, 6, 1) pada b = (1, −1, 4), iaitu komponen a dalam arah b.

a = (6, 6, 1)b = (1, −1, 4)

comp_b a =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (−1, 5, −4), b = (−3, −2, 1) dan c = (−4, −2, 4).

a = (−1, 5, −4)b = (−3, −2, 1)c = (−4, −2, 4)

V =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.25, 0.35, 0.25

Var(X) =

16.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 11 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.3, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 5 jawapan betul?

n = 11p = 0.3k = 5

P =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 11, 14, 27, 56, 29.

n = 5

s =

18.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 8. Cari skor-z z bagi skor 50.4.

μ = 60σ = 8x = 50.4

z =

19.Taburan normalSederhana

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 88 dan 118.75 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 100σ = 15x₁ = 88x₂ = 118.75

P =

20.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Seret titik pemotong supaya 10% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 3.5

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = 7x/(√(x² + 7x) + x)

Bahagikan dengan x

f(x) = 7/(√(1 + 7/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = 7/(1 + 1) = 3.5

Jawapan

L = 3.5

2.Had

Jawapan: L = 0.125

Penggunaan pertama

(−0.5·e^−0.5x + 0.5)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

0.25·e^−0.5x/2

Gantikan x = 0

L = 0.25·1/2 = 0.125

Jawapan

L = 0.125

3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = 273

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(1 + 2·x)

Gantikan

f′(2) = 54.6·(1 + 4) = 273

Jawapan

f′(2) = 273

4.Terbitan

Jawapan: x = −2

Terbitan

f′(x) = 3x² + 3x − 6 = 3·(x² + x − 2)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −2 atau x = 1

Yang mana satu

f″(x) = 6x + 3: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(−2) = −9, f″(1) = 9

x = −2

Jawapan

x = −2

5.Kamiran

Jawapan: I = 1.718

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = e^x/1

Nilaikan pada had

I = (e¹ − 1)/1 = (2.718 − 1)/1 = 1.718

Jawapan

I = 1.718

6.Kamiran

Jawapan: A = 10.67

Sifar

4 − x² = 0 → x = ±2

Kamirkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

Jawapan

A = 10.67

7.Nombor kompleks

Jawapan: C (−2 − j2)

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Kesan w

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + (−90)°

Titik itu

z·w = −2 − j2 → C

Jawapan

C (−2 − j2)

8.Nombor kompleks

Jawapan: Re(z³) = −16

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Bentuk kutub

z = 2 + j2 = 2√2∠45°

De Moivre

z³ = (2√2)³∠135° = 22.63∠135°

Bentuk Cartes

z³ = 22.63·(cos 135° + j sin 135°) = −16 + j16

Re(z³) = −16

Jawapan

Re(z³) = −16

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: t = 7.048 min

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Pemalar penyejukan

k = ln(294/120)/18 = 0.04978 min⁻¹

Masa untuk mencapai sasaran

t = ln(294/207)/0.04978 = 7.048 min

Jawapan

t = 7.048 min

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: m = 54.25 kg

Sediakan persamaan

dm/dt = 20·0.2 − (20/400)·m = 4 − 0.05·m

Selesaikan

Faktor pengamiran ialah e^rt/V; penyelesaiannya menghampiri keseimbangan c·V.

m(t) = 80 + (−70)·e^−t/20

Gantikan t

m(20) = 80 + (−70)·0.3679 = 54.25 kg

Jawapan

m = 54.25 kg

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = 61

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 10, M₁₂ = −2, M₁₃ = −13

Pengembangan kofaktor

det A = 4·10 − 4·(−2) + (−1)·(−13) = 61

Jawapan

det A = 61

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = 0.04348

Penentu matriks pekali

det A = 5·3 − (−2)·4 = 23

Gantikan lajur x

det Aₓ = (−1)·3 − (−2)·2 = 1

x = 1/23 = 0.04348

Jawapan

x = 0.04348

y = 0.6087

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: comp_b a = 0.9428

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = 6·1 + 6·(−1) + 1·4 = 4

Panjang b

|b| = √(1² + (−1)² + 4²) = 4.243

Unjuran skalar

comp_b a = a·b/|b| = 4/4.243 = 0.9428

Jawapan

comp_b a = 0.9428

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: V = 54

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−2)·4 − 1·(−2) = −6

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 1·(−4) − (−3)·4 = 8

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−3)·(−2) − (−2)·(−4) = −2

Hasil darab titik dengan a

a·(b × c) = (−1)·(−6) + 5·8 + (−4)·(−2) = 54

V = |54| = 54

Jawapan

V = 54

15.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 101

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 10·0.15 + 20·0.25 + 30·0.35 + 40·0.25 = 27

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 100·0.15 + 400·0.25 + 900·0.35 + 1600·0.25 = 830

Varians

Var(X) = 830 − 27² = 101

Jawapan

Var(X) = 101

16.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1321

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 5) = 462·0.3⁵·0.7⁶ = 462·0.00243·0.1176 = 0.1321

Jawapan

P = 0.1321

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 17.81

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 137/5 = 27.4

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−16.4)² + (−13.4)² + (−0.4)² + 28.6² + 1.6² = 1269

Sisihan piawai

s = √(1269/4) = 17.81

Jawapan

s = 17.81

18.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1.2

Piawaikan

z = (50.4 − 60)/8 = −1.2

Jawapan

z = −1.2

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6825

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (88 − 100)/15 = −0.8

z₂ = (118.75 − 100)/15 = 1.25

Luas antara

P = Φ(1.25) − Φ(−0.8) = 0.8944 − 0.2119 = 0.6825

Jawapan

P = 0.6825

20.Taburan normal

Jawapan: x = 449 h

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.1

z daripada jadual

z ≈ −1.28

Kembali kepada unit asal

x = 500 − 1.28·40 = 449 h

Jawapan

x = 449 h

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics