Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (−2x³ + 4)/(x³ + 6x + 3).

f(x) = (−2x³ + 4)/(x³ + 6x + 3)x → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(2x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + x)/sin(2x)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x³·e^0.5x. Cari f′(2).

f(x) = x³·e^0.5xx = 2

f′(2) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 0.5x² + 3x − 3 pada x = −2 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 0.5x² + 3x − 3x = −2

b =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = 2x² dan y = x.

y = 2x²y = x

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Cari argumen θ bagi z = −4 + j3 dalam darjah, sebagai nilai utama antara −180° dengan 180°.

z = −4 + j3

θ = °

8.Nombor kompleksSukar

Punca bagi zⁿ = w dengan n = 3 dan w = 27∠180° ialah z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2. Cari argumen z₁ dalam darjah, antara −180° dengan 180°.

w = 27∠180°n = 3k = 1

θ₁ = °

9.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 8y′ + 15y = 0 dengan y(0) = 5 dan y′(0) = 2. Cari y(1.5).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 5y′(0) = 2

y(1.5) =

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y″ + 3y′ + 18.25y = 0 dengan y(0) = 5 dan y′(0) = 0 (dilepaskan dari pegun). Cari y(1); sudut dalam radian.

y″ + 3y′ + 18.25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(1) =

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−3 4 0; 3 −1 5; −3 −4 −5]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem 2x + y = 0 dan −6x − 6y = 6. Cari x.

2x + y = 0−6x − 6y = 6

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari hasil darab titik a·b bagi a = (−6, 6, −5) dan b = (−6, −4, −6).

a = (−6, 6, −5)b = (−6, −4, −6)

a·b =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Bagi a = (5, −3, 6) dan b = (−3, 5, 4), cari komponen-y (a × b)_y hasil darab silang a × b.

a = (5, −3, 6)b = (−3, 5, 4)

(a × b)_y =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.25, 0.3, 0.25

Var(X) =

16.KebarangkalianSukar

7 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.4, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 7p = 0.4

P =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 53, 13, 14, 27, 60.

n = 5

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 90?

μ = 100σ = 5x = 90

P =

19.Taburan normalSederhana

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 244 dan 255 g? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 250σ = 5x₁ = 244x₂ = 255

P =

20.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 90% daripadanya (persentil ke-90).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = markah

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = −2

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Bahagikan dengan kuasa tertinggi

(−2 + 4/x³)/(1 + 6/x² + 3/x³)

Biarkan x → ∞

L = −2/1 = −2

Jawapan

L = −2

Bagi darjah yang sama, had ialah nisbah pekali pendahulu.

2.Had

Jawapan: L = 0.5

Petua L'Hôpital

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[2·cos 2x]

Gantikan x = 0

L = 1/2 = 0.5

Jawapan

L = 0.5

3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = 43.49

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e^0.5x·(3x² + 0.5·x³)

Gantikan

f′(2) = 2.718·(12 + 4) = 43.49

Jawapan

f′(2) = 43.49

4.Terbitan

Jawapan: b = −5

Titik dan kecerunan

f(−2) = −7

f′(x) = x + 3 → f′(−2) = 1

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −7 − 1·(−2) = −5

Jawapan

b = −5

5.Kamiran

Jawapan: I = 3.75

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Penggantian

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

Kamirkan dan nilaikan

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3.75

Jawapan

I = 3.75

6.Kamiran

Jawapan: A = 0.04167

Titik persilangan

2x² = x → x = 0, x = 0.5

Kamirkan atas tolak bawah

A = [0.5x² − 0.6667x³]₀^0.5 = 0.04167

Jawapan

A = 0.04167

7.Nombor kompleks

Jawapan: θ = 143.1 °

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Kuadran

a = −4, b = 3 → II

Sudut rujukan

α = atan(3/4) = 36.87°

Argumen

θ = 180° − α = 143.1°

Jawapan

θ = 143.1°

Dalam bentuk kutub z = 5∠143.1°.

8.Nombor kompleks

Jawapan: θ₁ = 180 °

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus punca-punca

27^1/3 = 3

Argumen punca

θ₁ = (180° + 360°·1)/3 = 180°

Argumen

θ₁ = 180°

Jawapan

θ₁ = 180°

3 punca terletak pada bulatan berjejari 3, berjarak 120°.

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 0.1453

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca ciri

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

Pemalar daripada nilai awal

A + B = 5, −3A − 5B = 2

A = 13.5, B = −8.5

Nilaikan

y(1.5) = 13.5·e^−4.5 + (−8.5)·e^−7.5 = 0.1453

Jawapan

y(1.5) = 0.1453

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1) = −1.046

Punca kompleks

r = −1.5 ± 4j

Pemalar

A = 5, B = 1.5·5/4 = 1.875

Nilaikan

y(1) = e^−1.5(5·cos 4 + 1.875·sin 4) = −1.046

Jawapan

y(1) = −1.046

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = −75

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 25, M₁₂ = 0, M₁₃ = −15

Pengembangan kofaktor

det A = (−3)·25 − 4·0 + 0·(−15) = −75

Jawapan

det A = −75

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = 1

Penentu matriks pekali

det A = 2·(−6) − 1·(−6) = −6

Gantikan lajur x

det Aₓ = 0·(−6) − 1·6 = −6

x = −6/(−6) = 1

Jawapan

x = 1

y = −2

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: a·b = 42

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Darabkan komponen yang sepadan dan tambah

a·b = (−6)·(−6) + 6·(−4) + (−5)·(−6) = 36 + (−24) + 30 = 42

Jawapan

a·b = 42

Positif: sudut antara vektor kurang daripada 90°.

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: (a × b)_y = −38

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·4 − 6·5 = −42

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 6·(−3) − 5·4 = −38

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·5 − (−3)·(−3) = 16

Komponen yang diminta

(a × b)_y = −38

Jawapan

(a × b)_y = −38

Semak: a × b berserenjang dengan kedua-dua vektor, maka hasil darab titiknya dengan a dan dengan b ialah sifar.

15.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 4.56

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.2 + 2·0.25 + 4·0.3 + 6·0.25 = 3.2

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.2 + 4·0.25 + 16·0.3 + 36·0.25 = 14.8

Varians

Var(X) = 14.8 − 3.2² = 4.56

Jawapan

Var(X) = 4.56

16.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1586

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.6⁷ = 0.02799

P(X = 1) = 7·0.4·0.6⁶ = 0.1306

Tambahkannya

P = 0.02799 + 0.1306 = 0.1586

Jawapan

P = 0.1586

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 21.94

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 167/5 = 33.4

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 19.6² + (−20.4)² + (−19.4)² + (−6.4)² + 26.6² = 1925

Sisihan piawai

s = √(1925/4) = 21.94

Jawapan

s = 21.94

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.9772

Piawaikan

z = −2

Jadual normal piawai

Φ(−2) = 0.02275

P = 1 − 0.02275 = 0.9772

Jawapan

P = 0.9772

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7263

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (244 − 250)/5 = −1.2

z₂ = (255 − 250)/5 = 1

Luas antara

P = Φ(1) − Φ(−1.2) = 0.8413 − 0.1151 = 0.7263

Jawapan

P = 0.7263

20.Taburan normal

Jawapan: x = 119.2 markah

z untuk persentil

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

Kembali kepada x

x = 100 + 1.282·15 = 119.22 markah

Jawapan

x = 119.22 markah

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics