Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (6x² + 5x + 1)/(5x² + 5x + 2).

f(x) = (6x² + 5x + 1)/(5x² + 5x + 2)x → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x².

f(x) = (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·e^2x. Cari f′(2).

f(x) = x·e^2xx = 2

f′(2) =

4.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ − 9x² + 15x + 6. Cari koordinat-x x bagi minimum setempat.

f(x) = x³ − 9x² + 15x + 6

x =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₂⁸ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 8]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = 2x² dan y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Diberi z₁ = 5∠55° dan z₂ = 4∠80°, cari bahagian khayalan w = z₁/z₂.

z₁ = 5∠55°z₂ = 4∠80°

Im(w) =

8.Nombor kompleksSukar

Punca bagi zⁿ = w dengan n = 5 dan w = 32∠−60° ialah z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 4. Cari bahagian nyata z₂.

w = 32∠−60°n = 5k = 2

Re(z₂) =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Sebuah bahagian keluli tempaan pada 380 °C dibiarkan sejuk di dalam bengkel pada 23 °C. Selepas 30 min suhunya ialah 103 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 269 °C?

T₀ = 380 °CT_a = 23 °CT(30) = 103 °CT = 269 °C

t = min

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y″ + y′ + 16.25y = 0 dengan y(0) = 10 dan y′(0) = 0 (dilepaskan dari pegun). Cari y(1.5); sudut dalam radian.

y″ + y′ + 16.25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(1.5) =

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−4 3 2; 3 −1 5; −1 5 0]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem −6x − 5y = 4 dan −3x + 3y = −10. Cari x.

−6x − 5y = 4−3x + 3y = −10

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari hasil darab titik a·b bagi a = (−5, −3, 3) dan b = (1, −1, −5).

a = (−5, −3, 3)b = (1, −1, −5)

a·b =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari luas A segi tiga dengan bucu A(0, 2, 4), B(−3, 4, −1) dan C(1, 0, 4). Koordinat dalam meter.

A(0, 2, 4)B(−3, 4, −1)C(1, 0, 4)

A = m²

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.2, 0.3, 0.1, 0.25

Var(X) =

16.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €10 untuk dimain. Anda menang €20 dengan kebarangkalian 0.25 dan €200 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €10€20: p = 0.25€200: p = 0.05

E(G) = €

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 27, 29, 37, 16, 26, 16, 47.

n = 7

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 54?

μ = 60σ = 5x = 54

P =

19.Taburan normalSederhana

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Berapakah pecahan yang terletak antara 26.3 dan 35 min? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 32σ = 6x₁ = 26.3x₂ = 35

P =

20.Taburan normalSukar

Jisim X produk daripada barisan 1 dan Y daripada barisan 2 adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 500 g dan sisihan piawai 8 g, Y mempunyai min 490 g dan sisihan piawai 6 g. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 1.2

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Bahagikan dengan kuasa tertinggi

(6 + 5/x + 1/x²)/(5 + 5/x + 2/x²)

Biarkan x → ∞

L = 6/5 = 1.2

Jawapan

L = 1.2

Bagi darjah yang sama, had ialah nisbah pekali pendahulu.

2.Had

Jawapan: L = 0.125

Penggunaan pertama

(0.5·e^0.5x − 0.5)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

0.25·e^0.5x/2

Gantikan x = 0

L = 0.25·1/2 = 0.125

Jawapan

L = 0.125

3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = 273

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(1 + 2·x)

Gantikan

f′(2) = 54.6·(1 + 4) = 273

Jawapan

f′(2) = 273

4.Terbitan

Jawapan: x = 5

Terbitan

f′(x) = 3x² − 18x + 15 = 3·(x² − 6x + 5)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 1 atau x = 5

Yang mana satu

f″(x) = 6x − 18: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(1) = −12, f″(5) = 12

x = 5

Jawapan

x = 5

5.Kamiran

Jawapan: I = 4.159

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = 3·ln x

Nilaikan pada had

I = 3·(ln 8 − ln 2) = 3·ln 4 = 4.159

Jawapan

I = 4.159

6.Kamiran

Jawapan: A = 1.125

Titik persilangan

2x² = 3x → x = 0, x = 1.5

Kamirkan atas tolak bawah

A = [1.5x² − 0.6667x³]₀^1.5 = 1.125

Jawapan

A = 1.125

7.Nombor kompleks

Jawapan: Im(w) = −0.5283

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 5 / 4 = 1.25

θ = 55° − 80° = −25°

Bentuk Cartes

Re(w) = 1.25·cos(−25°) = 1.133

Im(w) = 1.25·sin(−25°) = −0.5283

Im(w) = −0.5283

Jawapan

Im(w) = −0.5283

8.Nombor kompleks

Jawapan: Re(z₂) = −1.338

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus punca-punca

32^1/5 = 2

Argumen punca

θ₂ = (−60° + 360°·2)/5 = 132°

Bentuk Cartes

z₂ = 2·(cos 132° + j sin 132°) = −1.338 + j1.486

Re(z₂) = −1.338

Jawapan

Re(z₂) = −1.338

5 punca terletak pada bulatan berjejari 2, berjarak 72°.

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: t = 7.469 min

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Pemalar penyejukan

k = ln(357/80)/30 = 0.04986 min⁻¹

Masa untuk mencapai sasaran

t = ln(357/246)/0.04986 = 7.469 min

Jawapan

t = 7.469 min

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 4.371

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca kompleks

r = −0.5 ± 4j

Pemalar

A = 10, B = 0.5·10/4 = 1.25

Nilaikan

y(1.5) = e^−0.75(10·cos 6 + 1.25·sin 6) = 4.371

Jawapan

y(1.5) = 4.371

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = 113

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = −25, M₁₂ = 5, M₁₃ = 14

Pengembangan kofaktor

det A = (−4)·(−25) − 3·5 + 2·14 = 113

Jawapan

det A = 113

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = 1.152

Penentu matriks pekali

det A = (−6)·3 − (−5)·(−3) = −33

Gantikan lajur x

det Aₓ = 4·3 − (−5)·(−10) = −38

x = −38/(−33) = 1.152

Jawapan

x = 1.152

y = −2.182

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: a·b = −17

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Darabkan komponen yang sepadan dan tambah

a·b = (−5)·1 + (−3)·(−1) + 3·(−5) = (−5) + 3 + (−15) = −17

Jawapan

a·b = −17

Negatif: sudut antara vektor lebih daripada 90°.

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: A = 5.937 m²

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Vektor sisi

AB = B − A = (−3, 2, −5)

AC = C − A = (1, −2, 0)

Hasil darab silang

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 2·0 − (−5)·(−2) = −10

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−5)·1 − (−3)·0 = −5

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−3)·(−2) − 2·1 = 4

|AB × AC| = √((−10)² + (−5)² + 4²) = 11.87

Luas segi tiga

A = ½·11.87 = 5.937 m²

Jawapan

A = 5.937 m²

15.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 1.89

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.15 + 1·0.2 + 2·0.3 + 3·0.1 + 4·0.25 = 2.1

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.2 + 4·0.3 + 9·0.1 + 16·0.25 = 6.3

Varians

Var(X) = 6.3 − 2.1² = 1.89

Jawapan

Var(X) = 1.89

16.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 5 €

Hasil bersih

G: 10 (p = 0.25), 190 (p = 0.05), −10 (p = 0.7)

Nilai jangkaan

E(G) = 10·0.25 + 190·0.05 − 10·0.7 = 5 €

Jawapan

E(G) = 5 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 11.07

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 198/7 = 28.29

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−1.286)² + 0.7143² + 8.714² + (−12.29)² + (−2.286)² + (−12.29)² + 18.71² = 735.4

Sisihan piawai

s = √(735.4/6) = 11.07

Jawapan

s = 11.07

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.1151

Piawaikan

z = −1.2

Jadual normal piawai

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 0.1151

Jawapan

P = 0.1151

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.5204

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (26.3 − 32)/6 = −0.95

z₂ = (35 − 32)/6 = 0.5

Luas antara

P = Φ(0.5) − Φ(−0.95) = 0.6915 − 0.1711 = 0.5204

Jawapan

P = 0.5204

20.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8413

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Piawaikan

z = (0 − 10)/10 = −1

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

Jawapan

P = 0.8413

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics