Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 + 2/x)^xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x².

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·e^0.5x. Cari f′(0.5).

f(x) = x·e^0.5xx = 0.5

f′(0.5) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 2x² − 2 pada x = 1 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 2x² − 2x = 1

b =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀² e^x dx.

f(x) = e^x[0, 2]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = x² dan y = x.

y = x²y = x

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Tulis z = 8∠−20° dalam bentuk Cartes a + jb dan beri bahagian nyata a.

r = 8θ = −20°

a =

8.Nombor kompleksSukar

Punca bagi zⁿ = w dengan n = 3 dan w = 8∠−120° ialah z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2. Cari bahagian nyata z₂.

w = 8∠−120°n = 3k = 2

Re(z₂) =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Sekaleng minuman bergas pada 6 °C dikeluarkan daripada peti sejuk ke dalam bilik pada 23 °C. Selepas 16 min suhunya ialah 12 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari pemalar k dalam min⁻¹.

T₀ = 6 °CT_a = 23 °CT(16) = 12 °C

k = min⁻¹

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan masalah nilai awal y′ + 3y/x = x bagi x > 0, dengan y(1) = −2. Cari y(2).

y′ + 3y/x = xy(1) = −2

y(2) =

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−5 −5 1; 3 2 −1; 5 −1 −2]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem −3x − 4y = −2 dan 6x − y = −2. Cari x.

−3x − 4y = −26x − y = −2

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Daya malar F = (5, −10, 25) N bertindak pada sesuatu objek semasa ia bergerak dalam garis lurus dari titik A(−5, −3, −5) ke titik B(−2, 4, 1). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya itu.

F = (5, −10, 25) NA(−5, −3, −5) mB(−2, 4, 1) m

W = J

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari luas A segi tiga dengan bucu A(−1, 4, −1), B(1, −1, 0) dan C(−4, −2, −1). Koordinat dalam meter.

A(−1, 4, −1)B(1, −1, 0)C(−4, −2, −1)

A = m²

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.35, 0.25, 0.05

σ =

16.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 12 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.6, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 1 jawapan betul?

n = 12p = 0.6k = 1

P =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 28, 42, 44, 15, 16, 27.

n = 6

s =

18.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 8. Cari skor-z z bagi skor 80.

μ = 70σ = 8x = 80

z =

19.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.6476. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.6476

z =

20.Taburan normalSukar

Ketinggian X lelaki dan Y wanita dalam satu kumpulan adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 180 cm dan sisihan piawai 10 cm, Y mempunyai min 170 cm dan sisihan piawai 12 cm. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 7.389

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 2/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·2 = 2

Buat songsangan logaritma

L = e² = 7.389

Jawapan

L = 7.389

2.Had

Jawapan: L = 2

Penggunaan pertama

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

4·e^2x/2

Gantikan x = 0

L = 4·1/2 = 2

Jawapan

L = 2

3.Terbitan

Jawapan: f′(0.5) = 1.605

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e^0.5x·(1 + 0.5·x)

Gantikan

f′(0.5) = 1.284·(1 + 0.25) = 1.605

Jawapan

f′(0.5) = 1.605

4.Terbitan

Jawapan: b = −4

Titik dan kecerunan

f(1) = 0

f′(x) = 4x → f′(1) = 4

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0 − 4·1 = −4

Jawapan

b = −4

5.Kamiran

Jawapan: I = 6.389

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = e^x/1

Nilaikan pada had

I = (e² − 1)/1 = (7.389 − 1)/1 = 6.389

Jawapan

I = 6.389

6.Kamiran

Jawapan: A = 0.1667

Titik persilangan

x² = x → x = 0, x = 1

Kamirkan atas tolak bawah

A = [0.5x² − 0.3333x³]₀¹ = 0.1667

Jawapan

A = 0.1667

7.Nombor kompleks

Jawapan: a = 7.518

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Komponen

a = 8·cos(−20°) = 7.518

b = 8·sin(−20°) = −2.736

Bentuk Cartes

z = 7.518 − j2.736

a = 7.518

Jawapan

a = 7.518

8.Nombor kompleks

Jawapan: Re(z₂) = −1.879

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus punca-punca

8^1/3 = 2

Argumen punca

θ₂ = (−120° + 360°·2)/3 = 200° → −160°

Bentuk Cartes

z₂ = 2·(cos −160° + j sin −160°) = −1.879 − j0.684

Re(z₂) = −1.879

Jawapan

Re(z₂) = −1.879

3 punca terletak pada bulatan berjejari 2, berjarak 120°.

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: k = 0.02721 min⁻¹

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Nisbah beza suhu

e^−16k = -11/-17

Selesaikan untuk k

k = ln(-17/-11)/16 = 0.02721 min⁻¹

Jawapan

k = 0.02721 min⁻¹

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 0.525

Faktor pengamiran

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Kamirkan

(x³y)′ = x⁴ → x³y = 1x⁵/5 + C

Syarat awal

−2 = 1/5 + C → C = −2.2

Nilaikan

y(2) = (1·2⁵/5 + (−2.2))/2³ = 0.525

Jawapan

y(2) = 0.525

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = 7

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = −5, M₁₂ = −1, M₁₃ = −13

Pengembangan kofaktor

det A = (−5)·(−5) − (−5)·(−1) + 1·(−13) = 7

Jawapan

det A = 7

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = −0.2222

Penentu matriks pekali

det A = (−3)·(−1) − (−4)·6 = 27

Gantikan lajur x

det Aₓ = (−2)·(−1) − (−4)·(−2) = −6

x = −6/27 = −0.2222

Jawapan

x = −0.2222

y = 0.6667

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: W = 95 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Sesaran

d = B − A = (−2, 4, 1) − (−5, −3, −5) = (3, 7, 6) m

Kerja

W = F·d = 5·3 + (−10)·7 + 25·6 = 95 J

Jawapan

W = 95 J

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: A = 13.91 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor sisi

AB = B − A = (2, −5, 1)

AC = C − A = (−3, −6, 0)

Hasil darab silang

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−5)·0 − 1·(−6) = 6

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 1·(−3) − 2·0 = −3

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 2·(−6) − (−5)·(−3) = −27

|AB × AC| = √(6² + (−3)² + (−27)²) = 27.82

Luas segi tiga

A = ½·27.82 = 13.91 m²

Jawapan

A = 13.91 m²

15.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 0.8944

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.25 + 3·0.05 = 1

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.25 + 9·0.05 = 1.8

Varians

Var(X) = 1.8 − 1² = 0.8

σ = √0.8 = 0.8944

Jawapan

σ = 0.8944

16.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.000302

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 1) = 12·0.6¹·0.4¹¹ = 12·0.6·4.194 × 10⁻⁵ = 0.000302

Jawapan

P = 0.000302

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 12.36

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 172/6 = 28.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−0.6667)² + 13.33² + 15.33² + (−13.67)² + (−12.67)² + (−1.667)² = 763.3

Sisihan piawai

s = √(763.3/5) = 12.36

Jawapan

s = 12.36

18.Statistik perihalan

Jawapan: z = 1.25

Piawaikan

z = (80 − 70)/8 = 1.25

Jawapan

z = 1.25

19.Taburan normal

Jawapan: z = 0.93

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.6476)/2 = 0.8238

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.8238 di dalam jadual dan baca z.

z = 0.93

Jawapan

z = 0.93

20.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7389

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

Piawaikan

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

Jawapan

P = 0.7389

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics