Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (√(x² − 3x) − x).

f(x) = √(x² − 3x) − xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(2x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 5x)/(2x²)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·sin(x), dengan x dalam radian. Cari f′(0.5).

f(x) = x·sin(x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 2x² + 4x + 3 pada x = −2 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 2x² + 4x + 3x = −2

b =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = 0.5x² dan y = 2x.

y = 0.5x²y = 2x

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Diberi z₁ = 2.5∠70° dan z₂ = 1.5∠−50°, cari argumen θ bagi w = z₁·z₂ dalam darjah, antara −180° dengan 180°.

z₁ = 2.5∠70°z₂ = 1.5∠−50°

θ = °

8.Nombor kompleksSukar

Punca bagi zⁿ = w dengan n = 5 dan w = 243∠0° ialah z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 4. Cari bahagian khayalan z₄.

w = 243∠0°n = 5k = 4

Im(z₄) =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 7y′ + 12y = 0 dengan y(0) = 5 dan y′(0) = 1. Cari y(2).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 5y′(0) = 1

y(2) =

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan masalah nilai awal y′ + 3y/x = 4 bagi x > 0, dengan y(1) = 3. Cari y(3).

y′ + 3y/x = 4y(1) = 3

y(3) =

11.Matriks & penentuSederhana

Biar C = AB bagi matriks yang ditunjukkan. Cari unsur c₂₂ (baris 2, lajur 2).

A = [−1 3; 1 −6]B = [−3 3; 1 −3]

c₂₂ =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem 6x − y = −10 dan −3x + 2y = −8. Cari x.

6x − y = −10−3x + 2y = −8

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari nilai k supaya vektor a = (4, −4, −6) dan b = (k, 4, 1) berserenjang.

a = (4, −4, −6)b = (k, 4, 1)

k =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Vektor unit n̂ berserenjang dengan kedua-dua a = (−1, 3, 4) dan b = (2, 0, −2) dan mempunyai komponen-z positif. Cari komponen-ynya n̂_y.

a = (−1, 3, 4)b = (2, 0, −2)n̂_z > 0

n̂_y =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.15, 0.35, 0.2, 0.3

Var(X) =

16.KebarangkalianSukar

10 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.25, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 10p = 0.25

P =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 36, 55, 31, 39, 28, 22, 32.

n = 7

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 93.6?

μ = 100σ = 8x = 93.6

P =

19.Taburan normalSederhana

Jisim beg simen adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 kg dan sisihan piawai 0.5 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 9 daripadanya di bawah 224.3 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 9< 224.3 kg

P =

20.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 5% daripadanya (persentil ke-5).

μ = 100σ = 15P = 5%

x = markah

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = −1.5

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = −3x/(√(x² − 3x) + x)

Bahagikan dengan x

f(x) = −3/(√(1 + (−3)/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = −3/(1 + 1) = −1.5

Jawapan

L = −1.5

2.Had

Jawapan: L = 6.25

Penggunaan pertama

5·sin 5x/(4x) → 0/0

Penggunaan kedua

25·cos 5x/4

Gantikan x = 0

L = 25/4 = 6.25

Jawapan

L = 6.25

3.Terbitan

Jawapan: f′(0.5) = 0.9182

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Gantikan

f′(0.5) = 0.4794 + 0.5·0.8776 = 0.9182

Jawapan

f′(0.5) = 0.9182

4.Terbitan

Jawapan: b = −5

Titik dan kecerunan

f(−2) = 3

f′(x) = 4x + 4 → f′(−2) = −4

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 3 − (−4)·(−2) = −5

Jawapan

b = −5

5.Kamiran

Jawapan: I = 3.75

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Penggantian

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

Kamirkan dan nilaikan

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3.75

Jawapan

I = 3.75

6.Kamiran

Jawapan: A = 5.333

Titik persilangan

0.5x² = 2x → x = 0, x = 4

Kamirkan atas tolak bawah

A = [x² − 0.1667x³]₀⁴ = 5.333

Jawapan

A = 5.333

7.Nombor kompleks

Jawapan: θ = 20 °

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 2.5 · 1.5 = 3.75

θ = 70° + (−50)° = 20°

Argumen

θ = 20°

Jawapan

θ = 20°

8.Nombor kompleks

Jawapan: Im(z₄) = −2.853

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus punca-punca

243^1/5 = 3

Argumen punca

θ₄ = (0° + 360°·4)/5 = 288° → −72°

Bentuk Cartes

z₄ = 3·(cos −72° + j sin −72°) = 0.9271 − j2.853

Im(z₄) = −2.853

Jawapan

Im(z₄) = −2.853

5 punca terletak pada bulatan berjejari 3, berjarak 72°.

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 0.04669

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca ciri

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Pemalar daripada nilai awal

A + B = 5, −3A − 4B = 1

A = 21, B = −16

Nilaikan

y(2) = 21·e⁻⁶ + (−16)·e⁻⁸ = 0.04669

Jawapan

y(2) = 0.04669

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(3) = 3.074

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Faktor pengamiran

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Kamirkan

(x³y)′ = 4x³ → x³y = 4x⁴/4 + C

Syarat awal

3 = 4/4 + C → C = 2

Nilaikan

y(3) = (4·3⁴/4 + 2)/3³ = 3.074

Jawapan

y(3) = 3.074

11.Matriks & penentu

Jawapan: c₂₂ = 21

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Baris darab lajur

c₂₂ = 1·3 + (−6)·(−3) = 21

Jawapan

c₂₂ = 21

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = −3.111

Penentu matriks pekali

det A = 6·2 − (−1)·(−3) = 9

Gantikan lajur x

det Aₓ = (−10)·2 − (−1)·(−8) = −28

x = −28/9 = −3.111

Jawapan

x = −3.111

y = −8.667

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: k = 5.5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik sama dengan sifar

a·b = 4·k + (−4)·4 + (−6)·1 = 0

−22 + 4·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −(−22)/4 = 5.5

Jawapan

k = 5.5

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: n̂_y = −0.5774

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·(−2) − 4·0 = −6

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·2 − (−1)·(−2) = 6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·0 − 3·2 = −6

Normalkan

Komponen-z bagi a × b negatif, maka gunakan −(a × b).

|a × b| = √((−6)² + 6² + (−6)²) = 10.39

n̂ = −(−6, 6, −6)/10.39 = (0.5774, −0.5774, 0.5774)

n̂_y = −0.5774

Jawapan

n̂_y = −0.5774

15.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 1.127

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.15 + 1·0.35 + 2·0.2 + 3·0.3 = 1.65

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.35 + 4·0.2 + 9·0.3 = 3.85

Varians

Var(X) = 3.85 − 1.65² = 1.127

Jawapan

Var(X) = 1.127

16.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.244

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.75¹⁰ = 0.05631

P(X = 1) = 10·0.25·0.75⁹ = 0.1877

Tambahkannya

P = 0.05631 + 0.1877 = 0.244

Jawapan

P = 0.244

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 10.48

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 243/7 = 34.71

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 1.286² + 20.29² + (−3.714)² + 4.286² + (−6.714)² + (−12.71)² + (−2.714)² = 659.4

Sisihan piawai

s = √(659.4/6) = 10.48

Jawapan

s = 10.48

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.7881

Piawaikan

z = −0.8

Jadual normal piawai

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 1 − 0.2119 = 0.7881

Jawapan

P = 0.7881

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.3192

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 225 kg, σ_T = 0.5·√9 = 1.5 kg

Piawaikan

z = (224.3 − 225)/1.5 = −0.47

Kebarangkalian

P = Φ(−0.47) = 0.3192

Jawapan

P = 0.3192

20.Taburan normal

Jawapan: x = 75.33 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

Kembali kepada x

x = 100 + −1.645·15 = 75.33 markah

Jawapan

x = 75.33 markah

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics