Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
Cari had L = limx→∞ (6x3 + 4x − 3)/(3x3 + 5x + 1).
Cari had L = limx→0 ln(1 + 4x)/sin(x), dengan x dalam radian.
Biar f(x) = x·sin(x), dengan x dalam radian. Cari f′(1.5).
Garis tangen kepada f(x) = x2 + 5x − 2 pada x = 1 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.
Nilaikan I = ∫24 1/x dx.
Cari luas A kawasan antara parabola y = 1 − x² dan paksi-x.
Cari argumen θ bagi z = 4 + j5 dalam darjah, sebagai nilai utama antara −180° dengan 180°.
Punca bagi zⁿ = w dengan n = 3 dan w = 27∠180° ialah zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2. Cari bahagian khayalan z₀.
Selesaikan y″ + 4y′ + 3y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = 6. Cari y(2).
Sebuah tangki mengandungi 500 L air yang di dalamnya terlarut 5 kg garam. Air garam dengan 0.05 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 20 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Selepas berapa minit t tangki mengandungi 11 kg garam?
Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.
Cari unjuran skalar compb a bagi a = (7, −7, −3) pada b = (−3, 0, −5), iaitu komponen a dalam arah b.
Cari luas A segi tiga dengan bucu A(0, 1, −1), B(1, −4, −3) dan C(4, 0, −4). Koordinat dalam meter.
Satu dadu adil digolek 2 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?
9 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.1, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?
Cari sisihan piawai sampel s data: 27, 42, 23, 22, 51, 48, 56.
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 150?
X normal dengan min 120 mm dan sisihan piawai 0.3 mm; Y tak bersandar dan normal dengan min 80 mm dan sisihan piawai 0.4 mm. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 199.6 mm. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 70% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.
Jawapan: L = 2
Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).
Bagi darjah yang sama, had ialah nisbah pekali pendahulu.
Jawapan: L = 4
Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).
Jawapan: f′(1.5) = 1.104
Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.
Jawapan: b = −3
Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.
Jawapan: I = 0.6931
Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.
Jawapan: A = 1.333
Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.
Jawapan: θ = 51.34 °
Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.
Dalam bentuk kutub z = 6.403∠51.34°.
Jawapan: Im(z₀) = 2.598
De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.
3 punca terletak pada bulatan berjejari 3, berjarak 120°.
Jawapan: y(2) = 1.004
Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.
Jawapan: t = 8.917 min
Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.
Jawapan: det A = 3
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Jawapan: λ = 3
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Jawapan: compb a = −1.029
Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Negatif: a mempunyai komponen yang menghala melawan b.
Jawapan: A = 11.78 m²
Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Jawapan: P = 0.3056
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Jawapan: P = 0.7748
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Jawapan: s = 14.2
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Jawapan: P = 0.9772
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Jawapan: P = 0.7881
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Jawapan: x = 181.6 cm
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics