Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (√(9x² + 3x) − 3x).

f(x) = √(9x² + 3x) − 3xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = ln(2x² + 1). Cari f′(2).

f(x) = ln(2x² + 1)x = 2

f′(2) =

4.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ − 9x² + 24x − 4. Cari koordinat-x x bagi maksimum setempat.

f(x) = x³ − 9x² + 24x − 4

x =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 9 − x² dan paksi-x.

y = 9 − x²

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Rajah menunjukkan z = −2 − j3. Dengan w = 2∠90°, klik titik yang mewakili z·w.

z = −2 − j3w = 2∠90°

1A (−6 + j4)
2B (6 − j4)
3C (−4 − j6)
4D (3 − j2)

8.Nombor kompleksSukar

Gunakan teorem De Moivre untuk mencari bahagian nyata z⁹ bagi z = 1 − j√3.

z = 1 − j√3n = 9

Re(z⁹) =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Secawan kopi pada 82 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 23 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0.12 min⁻¹, cari suhunya T selepas 24 min.

T₀ = 82 °CT_a = 23 °Ck = 0.12 min⁻¹t = 24 min

T = °C

10.Persamaan pembezaanSukar

Sebuah tangki mengandungi 400 L air tulen. Air garam dengan 0.2 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 4 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Selepas berapa minit t tangki mengandungi 24 kg garam?

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0.2 kg/Lr = 4 L/min

t = min

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [2 4 −1; −1 −5 0; −3 −4 −1]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.

A = [4 −3; 7 −6]

λ =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari unjuran skalar comp_b a bagi a = (1, −6, −5) pada b = (6, 0, −4), iaitu komponen a dalam arah b.

a = (1, −6, −5)b = (6, 0, −4)

comp_b a =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Daya F = (30, −60, −10) N bertindak pada titik A(4, 4, 1). Koordinat dalam meter. Cari komponen-z M_z momen daya terhadap titik O(1, 0, 0).

F = (30, −60, −10) NA(4, 4, 1) mO(1, 0, 0) m

M_z = N·m

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.15, 0.3, 0.25

Var(X) =

16.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 0.5X + 20. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.3, 0.15, 0.2, 0.05Y = 0.5X + 20

σ_Y =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 16, 10, 21, 35, 56.

n = 5

s =

18.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 100. Cari skor-z z bagi skor 700.

μ = 500σ = 100x = 700

z =

19.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 120 mm dan sisihan piawai 0.3 mm; Y tak bersandar dan normal dengan min 80 mm dan sisihan piawai 0.4 mm. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 199.5 mm. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 199.5 mm

P =

20.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 90% daripadanya (persentil ke-90).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 0.5

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = 3x/(√(9x² + 3x) + 3x)

Bahagikan dengan x

f(x) = 3/(√(9 + 3/x) + 3)

Biarkan x → ∞

L = 3/(3 + 3) = 0.5

Jawapan

L = 0.5

2.Had

Jawapan: L = 4.5

Penggunaan pertama

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

9·e^3x/2

Gantikan x = 0

L = 9·1/2 = 4.5

Jawapan

L = 4.5

3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = 0.8889

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai untuk logaritma

f′(x) = 4x/(2x² + 1)

Gantikan

f′(2) = 8/9 = 0.8889

Jawapan

f′(2) = 0.8889

4.Terbitan

Jawapan: x = 2

Terbitan

f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3·(x² − 6x + 8)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 2 atau x = 4

Yang mana satu

f″(x) = 6x − 18: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(2) = −6, f″(4) = 6

x = 2

Jawapan

x = 2

5.Kamiran

Jawapan: I = 3.75

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Penggantian

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

Kamirkan dan nilaikan

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3.75

Jawapan

I = 3.75

6.Kamiran

Jawapan: A = 36

Sifar

9 − x² = 0 → x = ±3

Kamirkan

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Jawapan

A = 36

7.Nombor kompleks

Jawapan: B (6 − j4)

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Kesan w

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + 90°

Titik itu

z·w = 6 − j4 → B

Jawapan

B (6 − j4)

8.Nombor kompleks

Jawapan: Re(z⁹) = −512

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Bentuk kutub

z = 1 − j√3 = 2∠−60°

De Moivre

z⁹ = (2)⁹∠−540° = 512∠180°

Bentuk Cartes

z⁹ = 512·(cos 180° + j sin 180°) = −512

Re(z⁹) = −512

Jawapan

Re(z⁹) = −512

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: T = 26.31 °C

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum penyejukan

T(t) = 23 + 59·e^−0.12t

Gantikan t

T(24) = 23 + 59·0.05613 = 26.31 °C

Jawapan

T = 26.31 °C

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: t = 35.67 min

Keputusan

m(t) = 80 + (−80)·e^−t/100

Selesaikan untuk t

e^−t/100 = (80 − 24)/(80 − 0) = 0.7

t = 100·ln(1.429) = 35.67 min

Jawapan

t = 35.67 min

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = 17

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 5, M₁₂ = 1, M₁₃ = −11

Pengembangan kofaktor

det A = 2·5 − 4·1 + (−1)·(−11) = 17

Jawapan

det A = 17

12.Matriks & penentu

Jawapan: λ = 1

Persamaan cirian

λ² − (−2)λ + (−3) = 0

Selesaikan

λ = (−2 ± √(16))/2 → λ = −3, 1

λ = 1

Jawapan

λ = 1

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: comp_b a = 3.606

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = 1·6 + (−6)·0 + (−5)·(−4) = 26

Panjang b

|b| = √(6² + 0² + (−4)²) = 7.211

Unjuran skalar

comp_b a = a·b/|b| = 26/7.211 = 3.606

Jawapan

comp_b a = 3.606

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: M_z = −300 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor kedudukan dari O ke A

r = A − O = (4, 4, 1) − (1, 0, 0) = (3, 4, 1) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 4·(−10) − 1·(−60) = 20 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·30 − 3·(−10) = 60 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·(−60) − 4·30 = −300 N·m

Komponen yang diminta

M_z = −300 N·m

Jawapan

M_z = −300 N·m

15.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 1.35

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.3 + 1·0.15 + 2·0.3 + 3·0.25 = 1.5

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.15 + 4·0.3 + 9·0.25 = 3.6

Varians

Var(X) = 3.6 − 1.5² = 1.35

Jawapan

Var(X) = 1.35

16.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 0.6205

Serakan X

μ = 2.4, Var(X) = 1.54, σ_X = 1.241

Perubahan linear

σ_Y = |0.5|·1.241 = 0.6205

Jawapan

σ_Y = 0.6205

Min memang berubah: E(Y) = 0.5·2.4 + 20 = 21.2.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 18.37

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 138/5 = 27.6

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−11.6)² + (−17.6)² + (−6.6)² + 7.4² + 28.4² = 1349

Sisihan piawai

s = √(1349/4) = 18.37

Jawapan

s = 18.37

18.Statistik perihalan

Jawapan: z = 2

Piawaikan

z = (700 − 500)/100 = 2

Jawapan

z = 2

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8413

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

Piawaikan

z = (199.5 − 200)/0.5 = −1

Ekor atas

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

Jawapan

P = 0.8413

20.Taburan normal

Jawapan: x = 187 cm

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

Kembali kepada x

x = 178 + 1.282·7 = 186.97 cm

Jawapan

x = 186.97 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics