Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (√(4x² − 7x) − 2x).

f(x) = √(4x² − 7x) − 2xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(3x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + x)/sin(3x)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = ln(3x² + 1). Cari f′(−2).

f(x) = ln(3x² + 1)x = −2

f′(−2) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 3x² − 2x − 1 pada x = −2 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 3x² − 2x − 1x = −2

b =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

6.KamiranSukar

Nilaikan I = ∫₀^2.5 x²·eˣ dx.

∫₀^2.5 x²eˣ dx

I =

7.Nombor kompleksSederhana

Diberi z₁ = 2.5∠70° dan z₂ = 2∠65°, cari bahagian nyata w = z₁/z₂.

z₁ = 2.5∠70°z₂ = 2∠65°

Re(w) =

8.Nombor kompleksSukar

Tepat satu daripada titik A–D ialah punca bagi z³ = 27∠−90°. Klik titik itu.

w = 27∠−90°n = 3

1A (3∠60°)
2B (3∠90°)
3C (5.4∠150°)
4D (3∠−90°)

9.Persamaan pembezaanSederhana

Secawan kopi pada 84 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 19 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0.1 min⁻¹, cari suhunya T selepas 25 min.

T₀ = 84 °CT_a = 19 °Ck = 0.1 min⁻¹t = 25 min

T = °C

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y″ + 4y′ + 8y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = 0 (dilepaskan dari pegun). Cari y(0.75); sudut dalam radian.

y″ + 4y′ + 8y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(0.75) =

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [4 −3 2; 1 −5 −5; 0 1 2]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.

A = [2 −1; −1 2]

λ =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Daya malar F = (25, −5, −5) N bertindak pada sesuatu objek semasa ia bergerak dalam garis lurus dari titik A(−2, −4, −2) ke titik B(4, 4, −5). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya itu.

F = (25, −5, −5) NA(−2, −4, −2) mB(4, 4, −5) m

W = J

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari luas A segi empat selari yang direntangi oleh a = (−1, 4, −4) dan b = (6, 5, −4).

a = (−1, 4, −4)b = (6, 5, −4)

A =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3

Var(X) =

16.KebarangkalianSukar

8 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.3, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 8p = 0.3

P =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 50, 44, 27, 39, 58, 50, 56.

n = 7

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 32?

μ = 50σ = 15x = 32

P =

19.Taburan normalSederhana

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 250 dan 255.25 g? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 250σ = 5x₁ = 250x₂ = 255.25

P =

20.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.03 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = −1.75

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = −7x/(√(4x² − 7x) + 2x)

Bahagikan dengan x

f(x) = −7/(√(4 + (−7)/x) + 2)

Biarkan x → ∞

L = −7/(2 + 2) = −1.75

Jawapan

L = −1.75

2.Had

Jawapan: L = 0.3333

Petua L'Hôpital

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[3·cos 3x]

Gantikan x = 0

L = 1/3 = 0.3333

Jawapan

L = 0.3333

3.Terbitan

Jawapan: f′(−2) = −0.9231

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai untuk logaritma

f′(x) = 6x/(3x² + 1)

Gantikan

f′(−2) = −12/13 = −0.9231

Jawapan

f′(−2) = −0.9231

4.Terbitan

Jawapan: b = −13

Titik dan kecerunan

f(−2) = 15

f′(x) = 6x − 2 → f′(−2) = −14

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 15 − (−14)·(−2) = −13

Jawapan

b = −13

5.Kamiran

Jawapan: I = 2.333

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Penggantian

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

Kamirkan dan nilaikan

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2.333

Jawapan

I = 2.333

6.Kamiran

Jawapan: I = 37.59

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pusingan pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Pusingan kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Had

12.18·(3.25) − 1·2 = 37.59

Jawapan

I = 37.59

7.Nombor kompleks

Jawapan: Re(w) = 1.245

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 2.5 / 2 = 1.25

θ = 70° − 65° = 5°

Bentuk Cartes

Re(w) = 1.25·cos(5°) = 1.245

Im(w) = 1.25·sin(5°) = 0.1089

Re(w) = 1.245

Jawapan

Re(w) = 1.245

8.Nombor kompleks

Jawapan: B (3∠90°)

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus dan argumen punca-punca

|z| = 3

θ = −30°, 90°, −150°

Titik itu

B = 3∠90°

Jawapan

B (3∠90°)

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: T = 24.34 °C

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum penyejukan

T(t) = 19 + 65·e^−0.1t

Gantikan t

T(25) = 19 + 65·0.08208 = 24.34 °C

Jawapan

T = 24.34 °C

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(0.75) = 0.7151

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca kompleks

r = −2 ± 2j

Pemalar

A = 3, B = 2·3/2 = 3

Nilaikan

y(0.75) = e^−1.5(3·cos 1.5 + 3·sin 1.5) = 0.7151

Jawapan

y(0.75) = 0.7151

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = −12

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = −5, M₁₂ = 2, M₁₃ = 1

Pengembangan kofaktor

det A = 4·(−5) − (−3)·2 + 2·1 = −12

Jawapan

det A = −12

12.Matriks & penentu

Jawapan: λ = 3

Persamaan cirian

λ² − (4)λ + (3) = 0

Selesaikan

λ = (4 ± √(4))/2 → λ = 1, 3

λ = 3

Jawapan

λ = 3

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: W = 125 J

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Sesaran

d = B − A = (4, 4, −5) − (−2, −4, −2) = (6, 8, −3) m

Kerja

W = F·d = 25·6 + (−5)·8 + (−5)·(−3) = 125 J

Jawapan

W = 125 J

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: A = 40.51

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·(−4) − (−4)·5 = 4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·6 − (−1)·(−4) = −28

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·5 − 4·6 = −29

Luas

A = |a × b| = √(4² + (−28)² + (−29)²) = 40.51

Jawapan

A = 40.51

15.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 0.6475

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

Varians

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475

Jawapan

Var(X) = 0.6475

16.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.2553

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.7⁸ = 0.05765

P(X = 1) = 8·0.3·0.7⁷ = 0.1977

Tambahkannya

P = 0.05765 + 0.1977 = 0.2553

Jawapan

P = 0.2553

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 10.72

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 324/7 = 46.29

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 3.714² + (−2.286)² + (−19.29)² + (−7.286)² + 11.71² + 3.714² + 9.714² = 689.4

Sisihan piawai

s = √(689.4/6) = 10.72

Jawapan

s = 10.72

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.1151

Piawaikan

z = −1.2

Jadual normal piawai

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 0.1151

Jawapan

P = 0.1151

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.3531

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (250 − 250)/5 = 0

z₂ = (255.25 − 250)/5 = 1.05

Luas antara

P = Φ(1.05) − Φ(0) = 0.8531 − 0.5 = 0.3531

Jawapan

P = 0.3531

20.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9099

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099

Jawapan

P = 0.9099

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics