Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^3x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 + 2/x)^3xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(x)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x³·e^2x. Cari f′(0.5).

f(x) = x³·e^2xx = 0.5

f′(0.5) =

4.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ − 13.5x² + 54x − 3. Cari koordinat-x x bagi minimum setempat.

f(x) = x³ − 13.5x² + 54x − 3

x =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₁³ 4/x dx.

f(x) = 4/x[1, 3]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = x² dan y = x.

y = x²y = x

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Tulis z = 6∠140° dalam bentuk Cartes a + jb dan beri bahagian nyata a.

r = 6θ = 140°

a =

8.Nombor kompleksSukar

Selesaikan z² + 2z + 26 = 0. Puncanya ialah a ± jb; cari b > 0.

p = 2q = 26

b =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Secawan kopi pada 90 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 18 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0.11 min⁻¹, cari suhunya T selepas 10 min.

T₀ = 90 °CT_a = 18 °Ck = 0.11 min⁻¹t = 10 min

T = °C

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y′ + y = 8e^−0.5t dengan y(0) = 1. Cari y(1.5).

y′ + y = 8e^−0.5ty(0) = 1

y(1.5) =

11.Matriks & penentuSederhana

Biar C = AB bagi matriks yang ditunjukkan. Cari unsur c₂₁ (baris 2, lajur 1).

A = [−5 −1; 1 4]B = [−4 −2; 2 2]

c₂₁ =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem 4x + y = 9 dan −6x − 3y = 5. Cari x.

4x + y = 9−6x − 3y = 5

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari unjuran skalar comp_b a bagi a = (−7, 4, 4) pada b = (−2, −5, 4), iaitu komponen a dalam arah b.

a = (−7, 4, 4)b = (−2, −5, 4)

comp_b a =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Bagi a = (−4, 2, 0) dan b = (2, −2, 3), cari komponen-x (a × b)_x hasil darab silang a × b.

a = (−4, 2, 0)b = (2, −2, 3)

(a × b)_x =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.35, 0.35, 0.1

σ =

16.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 5 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.7, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 3 jawapan betul?

n = 5p = 0.7k = 3

P =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 25, 48, 10, 41, 45, 53.

n = 6

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 92.5?

μ = 100σ = 15x = 92.5

P =

19.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 4 g; Y tak bersandar dan normal dengan min 500 g dan sisihan piawai 9 g. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 759.8 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 759.8 g

P =

20.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 99% daripadanya (persentil ke-99).

μ = 250σ = 5P = 99%

x = g

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 403.4

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 2/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·2 = 6

Buat songsangan logaritma

L = e⁶ = 403.4

Jawapan

L = 403.4

2.Had

Jawapan: L = 3

Petua L'Hôpital

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[cos x]

Gantikan x = 0

L = 3/1 = 3

Jawapan

L = 3

3.Terbitan

Jawapan: f′(0.5) = 2.718

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(3x² + 2·x³)

Gantikan

f′(0.5) = 2.718·(0.75 + 0.25) = 2.718

Jawapan

f′(0.5) = 2.718

4.Terbitan

Jawapan: x = 6

Terbitan

f′(x) = 3x² − 27x + 54 = 3·(x² − 9x + 18)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 3 atau x = 6

Yang mana satu

f″(x) = 6x − 27: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(3) = −9, f″(6) = 9

x = 6

Jawapan

x = 6

5.Kamiran

Jawapan: I = 4.394

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = 4·ln x

Nilaikan pada had

I = 4·(ln 3 − ln 1) = 4·ln 3 = 4.394

Jawapan

I = 4.394

6.Kamiran

Jawapan: A = 0.1667

Titik persilangan

x² = x → x = 0, x = 1

Kamirkan atas tolak bawah

A = [0.5x² − 0.3333x³]₀¹ = 0.1667

Jawapan

A = 0.1667

7.Nombor kompleks

Jawapan: a = −4.596

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Komponen

a = 6·cos(140°) = −4.596

b = 6·sin(140°) = 3.857

Bentuk Cartes

z = −4.596 + j3.857

a = −4.596

Jawapan

a = −4.596

8.Nombor kompleks

Jawapan: b = 5

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Pembezalayan

p² − 4q = 4 − 104 = −100 < 0

Rumus kuadratik

z = (−2 ± j√100)/2 = −1 + j5, −1 − j5

Jawapan

b = 5

Jawapan

b = 5

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: T = 41.97 °C

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum penyejukan

T(t) = 18 + 72·e^−0.11t

Gantikan t

T(10) = 18 + 72·0.3329 = 41.97 °C

Jawapan

T = 41.97 °C

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 4.211

Faktor pengamiran

μ = e^t

(e^ty)′ = 8e^0.5t

Penyelesaian am

y = 8/0.5·e^−0.5t + C·e^−t = 16·e^−0.5t + C·e^−t

Syarat awal

1 = 16 + C → C = −15

Nilaikan

y(1.5) = 16·0.4724 + (−15)·0.2231 = 4.211

Jawapan

y(1.5) = 4.211

11.Matriks & penentu

Jawapan: c₂₁ = 4

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Baris darab lajur

c₂₁ = 1·(−4) + 4·2 = 4

Jawapan

c₂₁ = 4

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = 5.333

Penentu matriks pekali

det A = 4·(−3) − 1·(−6) = −6

Gantikan lajur x

det Aₓ = 9·(−3) − 1·5 = −32

x = −32/(−6) = 5.333

Jawapan

x = 5.333

y = −12.33

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: comp_b a = 1.491

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = (−7)·(−2) + 4·(−5) + 4·4 = 10

Panjang b

|b| = √((−2)² + (−5)² + 4²) = 6.708

Unjuran skalar

comp_b a = a·b/|b| = 10/6.708 = 1.491

Jawapan

comp_b a = 1.491

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: (a × b)_x = 6

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil darab silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·3 − 0·(−2) = 6

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·2 − (−4)·3 = 12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·(−2) − 2·2 = 4

Komponen yang diminta

(a × b)_x = 6

Jawapan

(a × b)_x = 6

Semak: a × b berserenjang dengan kedua-dua vektor, maka hasil darab titiknya dengan a dan dengan b ialah sifar.

15.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.819

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.2 + 2·0.35 + 4·0.35 + 6·0.1 = 2.7

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.2 + 4·0.35 + 16·0.35 + 36·0.1 = 10.6

Varians

Var(X) = 10.6 − 2.7² = 3.31

σ = √3.31 = 1.819

Jawapan

σ = 1.819

16.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.3087

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 3) = 10·0.7³·0.3² = 10·0.343·0.09 = 0.3087

Jawapan

P = 0.3087

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.31

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 222/6 = 37

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−12)² + 11² + (−27)² + 4² + 8² + 16² = 1330

Sisihan piawai

s = √(1330/5) = 16.31

Jawapan

s = 16.31

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.3085

Piawaikan

z = −0.5

Jadual normal piawai

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 0.3085

Jawapan

P = 0.3085

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.1587

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

Piawaikan

z = (759.8 − 750)/9.849 = 1

Ekor atas

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

Jawapan

P = 0.1587

20.Taburan normal

Jawapan: x = 261.6 g

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

Kembali kepada x

x = 250 + 2.326·5 = 261.63 g

Jawapan

x = 261.63 g

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics