Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 + 2/x)^xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^−0.5x − 1 + 0.5x)/x².

f(x) = (e^−0.5x − 1 + 0.5x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = ln(3x² + 4). Cari f′(−1).

f(x) = ln(3x² + 4)x = −1

f′(−1) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = x² + 4x + 2 pada x = −2 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = x² + 4x + 2x = −2

b =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

6.KamiranSukar

Nilaikan I = ∫₀^2.5 x²·eˣ dx.

∫₀^2.5 x²eˣ dx

I =

7.Nombor kompleksSederhana

Cari argumen θ bagi z = −1 + j3 dalam darjah, sebagai nilai utama antara −180° dengan 180°.

z = −1 + j3

θ = °

8.Nombor kompleksSukar

Tepat satu daripada titik A–D ialah punca bagi z³ = 8∠90°. Klik titik itu.

w = 8∠90°n = 3

1A (2∠150°)
2B (2∠120°)
3C (3.6∠−150°)
4D (2∠180°)

9.Persamaan pembezaanSederhana

Secawan kopi pada 90 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 18 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0.03 min⁻¹, cari suhunya T selepas 23 min.

T₀ = 90 °CT_a = 18 °Ck = 0.03 min⁻¹t = 23 min

T = °C

10.Persamaan pembezaanSukar

Satu sistem mematuhi y″ + 3y′ + 18.25y = 18.25 untuk t ≥ 0, bermula dari pegun: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari nilai puncak y_max sambutan langkahnya.

y″ + 3y′ + 18.25y = 18.25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [3 −2 1; −1 2 −2; −4 −1 1]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem 3x + y = −6 dan x − y = −6. Cari x.

3x + y = −6x − y = −6

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari unjuran skalar comp_b a bagi a = (2, −6, −1) pada b = (−4, −1, −5), iaitu komponen a dalam arah b.

a = (2, −6, −1)b = (−4, −1, −5)

comp_b a =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Daya F = (−60, 50, 40) N bertindak pada titik A(2, −4, 2). Koordinat dalam meter. Cari magnitud |M| momen daya terhadap titik O(1, −1, −1).

F = (−60, 50, 40) NA(2, −4, 2) mO(1, −1, −1) m

|M| = N·m

15.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 4 orang boleh dipilih daripada kumpulan 6? Susunan tidak penting.

n = 6k = 4

N =

16.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 10X − 3. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.35, 0.15, 0.3Y = 10X − 3

σ_Y =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 57, 23, 12, 58, 29, 25, 48.

n = 7

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 85?

μ = 100σ = 10x = 85

P =

19.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 60 s dan sisihan piawai 5 s; Y tak bersandar dan normal dengan min 45 s dan sisihan piawai 4 s. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 101.8 s. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 101.8 s

P =

20.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 90% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 178 cmσ = 7 cm90%

x = cm

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 7.389

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 2/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·2 = 2

Buat songsangan logaritma

L = e² = 7.389

Jawapan

L = 7.389

2.Had

Jawapan: L = 0.125

Penggunaan pertama

(−0.5·e^−0.5x + 0.5)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

0.25·e^−0.5x/2

Gantikan x = 0

L = 0.25·1/2 = 0.125

Jawapan

L = 0.125

3.Terbitan

Jawapan: f′(−1) = −0.8571

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai untuk logaritma

f′(x) = 6x/(3x² + 4)

Gantikan

f′(−1) = −6/7 = −0.8571

Jawapan

f′(−1) = −0.8571

4.Terbitan

Jawapan: b = −2

Titik dan kecerunan

f(−2) = −2

f′(x) = 2x + 4 → f′(−2) = 0

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − 0·(−2) = −2

Jawapan

b = −2

5.Kamiran

Jawapan: I = 12

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Penggantian

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

Kamirkan dan nilaikan

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

Jawapan

I = 12

6.Kamiran

Jawapan: I = 37.59

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pusingan pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Pusingan kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Had

12.18·(3.25) − 1·2 = 37.59

Jawapan

I = 37.59

7.Nombor kompleks

Jawapan: θ = 108.4 °

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Kuadran

a = −1, b = 3 → II

Sudut rujukan

α = atan(3/1) = 71.57°

Argumen

θ = 180° − α = 108.4°

Jawapan

θ = 108.4°

Dalam bentuk kutub z = 3.162∠108.4°.

8.Nombor kompleks

Jawapan: A (2∠150°)

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus dan argumen punca-punca

|z| = 2

θ = 30°, 150°, −90°

Titik itu

A = 2∠150°

Jawapan

A (2∠150°)

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: T = 54.11 °C

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum penyejukan

T(t) = 18 + 72·e^−0.03t

Gantikan t

T(23) = 18 + 72·0.5016 = 54.11 °C

Jawapan

T = 54.11 °C

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y_max = 1.308

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Nilai mantap dan punca

y_ss = 1, r = −1.5 ± 4j

Pemalar daripada nilai awal

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1.5A + 4B = 0 → B = −0.375

Puncak

t = π/4 = 0.7854

y_max = 1·(1 + e^−1.5·π/4) = 1.308

Jawapan

y_max = 1.308

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = −9

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 0, M₁₂ = −9, M₁₃ = 9

Pengembangan kofaktor

det A = 3·0 − (−2)·(−9) + 1·9 = −9

Jawapan

det A = −9

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = −3

Penentu matriks pekali

det A = 3·(−1) − 1·1 = −4

Gantikan lajur x

det Aₓ = (−6)·(−1) − 1·(−6) = 12

x = 12/(−4) = −3

Jawapan

x = −3

y = 3

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: comp_b a = 0.4629

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = 2·(−4) + (−6)·(−1) + (−1)·(−5) = 3

Panjang b

|b| = √((−4)² + (−1)² + (−5)²) = 6.481

Unjuran skalar

comp_b a = a·b/|b| = 3/6.481 = 0.4629

Jawapan

comp_b a = 0.4629

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: |M| = 371.8 N·m

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Vektor kedudukan dari O ke A

r = A − O = (2, −4, 2) − (1, −1, −1) = (1, −3, 3) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−3)·40 − 3·50 = −270 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 3·(−60) − 1·40 = −220 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 1·50 − (−3)·(−60) = −130 N·m

Magnitud

|M| = √((−270)² + (−220)² + (−130)²) = 371.8 N·m

Jawapan

|M| = 371.8 N·m

15.Kebarangkalian

Jawapan: N = 15

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

Jawapan

N = 15

16.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 11.17

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 2.55, Var(X) = 1.248, σ_X = 1.117

Perubahan linear

σ_Y = |10|·1.117 = 11.17

Jawapan

σ_Y = 11.17

Min memang berubah: E(Y) = 10·2.55 − 3 = 22.5.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 18.18

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 252/7 = 36

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 21² + (−13)² + (−24)² + 22² + (−7)² + (−11)² + 12² = 1984

Sisihan piawai

s = √(1984/6) = 18.18

Jawapan

s = 18.18

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.9332

Piawaikan

z = −1.5

Jadual normal piawai

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 1 − 0.06681 = 0.9332

Jawapan

P = 0.9332

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6915

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

Piawaikan

z = (101.8 − 105)/6.403 = −0.5

Ekor atas

P = 1 − Φ(−0.5) = 1 − 0.3085 = 0.6915

Jawapan

P = 0.6915

20.Taburan normal

Jawapan: x = 169 cm

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.1

z daripada jadual

z ≈ −1.28

Kembali kepada unit asal

x = 178 − 1.28·7 = 169 cm

Jawapan

x = 169 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics