Latihan peperiksaan FE Awam: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 30 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegasan berkesan dalam tanah

Tegasan jumlah: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air liang: u = γ_w·(z − z_w)
Tegasan berkesan: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9.81 kN/m³

Enapan pengukuhan

Terkukuh secara normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegasan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkukuh lebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkukuh lebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Nisbah pengukuhan lebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Masa untuk pengukuhan: t = T_v·H_dr²/c_v
Laluan saliran: H_dr = H/2 (saliran berganda), H (saliran tunggal)
Faktor masa: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

Daya hidrostatik

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Daya pada dinding menegak: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Segi empat tepat: I_c = bH³/12

Geseran paip & kehilangan turus

Nombor Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rejim aliran: lamina di bawah Re ≈ 2000, gelora di atas Re ≈ 4000
Halaju min: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kehilangan kecil: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K lazim: masukan 0.5, keluaran 1.0, lengkuk 90° ≈ 0.3
Susutan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua takungan terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Kadar alir: Q = A·V
Jejari hidraulik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Segi empat tepat: A = b·y, P = b + 2y
Trapezoid (cerun sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Paip bulat, penuh atau separuh penuh: R = D/4
Cerun yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pam & kuasa pam

Kuasa hidraulik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Kuasa aci: P_shaft = P_h/η_pump
Kuasa elektrik: P_el = P_shaft/η_motor
Turus pam: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kehilangan sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai masa wang

Nilai masa hadapan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai kini: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa tempoh setahun: i = r/m, N = m·n
Anuiti, nilai kini: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuiti, nilai masa hadapan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Kaedah

Lukis garis masa dengan setiap aliran tunai dan masanya.
Padankan kadar dengan tempoh: kadar bulanan untuk bayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan formula anuiti untuk bayaran yang sama.
Semak tanda dan peringkat magnitud jawapan.

NPV & IRR

Nilai kini bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Aliran tunai yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Kadar pulangan dalaman: r yang menjadikan NPV = 0
Keputusan: terima apabila NPV > 0 (atau IRR > pulangan yang diperlukan)

Kaedah

Senaraikan semua aliran tunai dengan tahunnya; pelaburan pada tahun 0 adalah negatif.
Diskaunkan setiap aliran tunai: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkannya untuk mendapatkan NPV. Positif bermaksud projek memperoleh lebih daripada r.
Untuk IRR, cari kadar yang menjadikan NPV sifar melalui cuba-cuba atau interpolasi.

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_A.

L = 8 mP₁ = 60 kN pada 3 mP₂ = 45 kN pada 4 m

R_A = kN

2.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk majmuk terikat pada dinding di A, mempunyai engsel dalaman di C (2 m dari A) dan bertumpu pada penggelek di D (6 m dari A). Ia membawa beban titik P pada 5 m dari A, beban teragih seragam w pada seluruh bahagian CD dan beban titik Q pada 0.5 m dari A. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

AC = 2 mAD = 6 mP = 30 kN pada 5 mw = 8 kN/m dari 2 hingga 6 mQ = 80 kN pada 0.5 m

M_A = kN·m

3.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 3 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 30 kN

F_AB = kN

4.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 3 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 50 kNbeban mengufuk = 10 kN →

F_AC = kN

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 3.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 3.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mP = 35 kN pada 9 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

7.Pesongan rasukSederhana

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 12 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. EI adalah malar. Cari magnitud momen lentur M_A pada hujung tetap.

L = 4 mw = 8 kN/m

M_A = kN·m

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 15 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mmM = 15 kN·m

σ_atas = MPa

13.Tegasan berkesan dalam tanahSederhana

Bagi profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air liang u pada titik X.

z = 5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³pasir: γ_d = 16.5 kN/m³pasir: γ_sat = 19.5 kN/m³

u = kPa

14.Tegasan berkesan dalam tanahSukar

Bagi profil tanah yang ditunjukkan, cari tegasan jumlah menegak σ pada titik X.

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³pasir: γ_d = 16.5 kN/m³pasir: γ_sat = 20.5 kN/m³lempung: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

15.Enapan pengukuhanSederhana

Satu lapisan lempung terkukuh lebih setebal 4.5 m mempunyai C_c = 0.3, C_r = 0.06 dan e₀ = 0.7. Pada kedalaman tengahnya tegasan berkesan menegak ialah 90 kPa dan nisbah pengukuhan lebih ialah OCR = 2.5. Sebuah bangunan baharu menambah 50 kPa tegasan menegak pada kedalaman tengah. Cari enapan pengukuhan primer S dalam mm.

H = 4.5 mC_c = 0.3C_r = 0.06e₀ = 0.7σ′₀ = 90 kPaOCR = 2.5Δσ = 50 kPa

S = mm

16.Enapan pengukuhanSukar

Dalam ujian oedometer makmal, spesimen lempung setebal 25 mm, mengalir di atas dan bawah, mencapai 50% pengukuhan dalam 5 min. Di lapangan lempung yang sama membentuk lapisan setebal 7 m. Ia terletak di antara dua lapisan pasir, jadi air mengalir keluar di atas dan di bawah. Berapa hari t yang diambil oleh lapisan lapangan untuk mencapai 50% pengukuhan?

h_lab = 25 mmt_lab = 5 minH = 7 mlapangan: saliran berganda

t = hari

17.Daya hidrostatikSederhana

Satu pintu air segi empat tepat menegak selebar 1.5 m terletak pada dinding tangki air, dengan tepi atasnya 1 m di bawah permukaan. Cari daya hidrostatik paduan F pada pintu air itu.

d = 1 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.Daya hidrostatikSukar

Satu pintu air segi empat tepat menegak selebar 2 m terletak pada dinding tangki air laut, dengan tepi atasnya 1 m di bawah permukaan. Cari daya hidrostatik paduan F pada pintu air itu.

d = 1 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.Geseran paip & kehilangan turusSederhana

Air (ρ = 1000 kg/m³) mengalir pada 2.5 m/s melalui paip mengufuk sepanjang 200 m dengan diameter dalam 250 mm. Gunakan faktor geseran Darcy f = 0.025 dan g = 9.81 m/s². Cari susutan tekanan Δp sepanjang paip dalam kPa.

V = 2.5 m/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Geseran paip & kehilangan turusSukar

Satu paip sepanjang 300 m dengan diameter dalam 300 mm (faktor geseran Darcy f = 0.022) bermula dari takungan terbuka dan mengalir keluar sebagai pancutan bebas ke udara. Kehilangan kecil ialah masukan bertepi segi empat (K = 0.5), 2 lengkuk (K = 0.3 setiap satu) dan injap (K = 10). Gunakan g = 9.81 m/s². Seberapa tinggi H permukaan takungan mesti berada di atas keluaran paip untuk kadar alir 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 10

H = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sederhana

Sebuah pembetung air ribut konkrit dengan diameter dalam 900 mm mengalir separuh penuh. n Manning = 0.013 dan cerun ialah S = 0.0005. Cari kadar alir Q dalam m³/s.

D = 900 mmn = 0.013S = 0.0005

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sukar

Satu saluran kerikil trapezoid dengan lebar dasar 5 m dan cerun sisi 1:1 (mengufuk:menegak) mesti membawa 14 m³/s dalam aliran seragam pada kedalaman 1.7 m. n Manning = 0.025. Cari cerun dasar yang diperlukan S (dalam m/m).

Q = 14 m³/sb = 5 my = 1.7 mz = 1n = 0.025

S = m/m

23.Pam & kuasa pamSederhana

Satu pam dengan kecekapan 70% menghantar 15 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan turus 74 m. Gunakan g = 9.81 m/s². Cari kuasa aci P_shaft yang diperlukan, dalam kW.

Q = 15 L/sH = 74 mη = 70%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pam & kuasa pamSukar

Satu pam memindahkan 60 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari takungan bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 17 m lebih tinggi. Paip itu sepanjang 150 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor geseran Darcy f = 0.015; jumlah pekali kehilangan kecil ialah ΣK = 8 (masukan dan keluaran disertakan). Gunakan g = 9.81 m/s². Kecekapan pam ialah 65%. Cari kuasa aci P_shaft dalam kW.

Q = 60 L/sΔz = 17 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

25.Nilai masa wangSederhana

Satu anuiti membayar €8 000 pada hujung setiap tahun selama 8 tahun. Kadar faedah ialah 8% setahun. Cari nilai kini PV anuiti itu.

A = €8 000i = 8%n = 8

PV = €

26.Nilai masa wangSukar

Anda menyimpan €50 pada akhir setiap bulan selama 22 tahun. Akaun membayar 2.4% setahun, dikompaun setiap bulan. Berapakah jumlah simpanan anda pada akhirnya? Cari FV.

A = €502.4% / 12N = 264

FV = €

27.NPV & IRRSederhana

Sebuah mesin berkos €80 000 hari ini. Ia menjana €11 500 pada hujung setiap tahun selama 8 tahun dan kemudian boleh dijual pada harga €12 000. Kos modal ialah 8%. Cari nilai kini bersih NPV.

C₀ = €80 000CF = €11 500S = €12 000n = 8r = 8%

NPV = €

28.NPV & IRRSukar

Sebuah projek berkos €20 000 dan memulangkan €8 500, €9 500, €11 000, €8 500 pada hujung tahun 1 hingga 4. Aliran tunai boleh dilaburkan semula pada kos modal 12%. Cari kadar pulangan dalaman terubah suai MIRR dalam peratus.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 9 500CF₃ = 11 000CF₄ = 8 500

MIRR = %

29.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.7499. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.7499

z =

30.Taburan normalSukar

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 20% daripadanya (persentil ke-20).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 60 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·3 + 45·4

R_B = 360/8 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 45 = 60 kN

Jawapan

R_A = 60 kN

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 87 kN·m

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan. Engsel dalaman tidak boleh menanggung momen lentur, yang memberikan satu persamaan tambahan: momen pada engsel bagi daya di kedua-dua sisi ialah sifar.

Bahagian CD

Engsel tiada momen, maka momen pada C bagi CD sahaja mesti seimbang.

W = 8·4 = 32 kN pada 2 m dari C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 30·3 + 32·2

R_D = 38.5 kN

V_C = 62 − 38.5 = 23.5 kN

Bahagian AC

Daya engsel V_C bertindak ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan dengan tindakannya pada CD).

R_A = 80 + 23.5 = 103.5 kN

M_A = 80·0.5 + 23.5·2 = 87 kN·m

Jawapan

M_A = 87 kN·m

3.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −24.04 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 10 = 20 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −20/0.8321 = −24.04 kN

Jawapan

F_AB = −24.04 kN (mampatan)

4.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = 15 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·3 + 10·3 → C_y = 45 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 45 = 5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −45/0.9487 = −47.43 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−47.43)·0.3162 = 15 kN

Jawapan

F_AC = 15 kN (tegangan)

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 136.5 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Potong pada x = 3.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 60·3.5 − 12·3.5·1.75 = 136.5 kN·m

Jawapan

M_x = 136.5 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 69 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·9 + 10·10·5

R_B = 815/10 = 81.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 81.5 = 53.5 kN

Potong pada x = 1.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 53.5·1.5 − 10·1.5·0.75 = 69 kN·m

Jawapan

M_x = 69 kN·m

7.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 4.717 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·1.61 × 10¹²) = 4.717 mm

Jawapan

δ = 4.717 mm

8.Pesongan rasuk

Jawapan: M_A = 16 kN·m

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·4/8 = 12 kN

Momen pada hujung tetap

Momen pada A bagi beban dan daya topang.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 64 − 48 = 16 kN·m

Jawapan

M_A = 16 kN·m

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 29.61 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/3000² = 29609 N = 29.61 kN

Jawapan

P_cr = 29.61 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 2.763 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2.763 MPa

Jawapan

σ_cr = 2.763 MPa

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 42.19 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

web: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·270 + 2080·130)/8080 = 234 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 300·20³/12 + 6000·(270 − 234)² = 7.993 × 10⁶ mm⁴

web: 8·260³/12 + 2080·(130 − 234)² = 3.42 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.993 × 10⁶ + 3.42 × 10⁷ = 4.219 × 10⁷ mm⁴ = 42.19 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 42.19 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 58.59 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

web: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·185 + 1440·90)/3440 = 145.2 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 200·10³/12 + 2000·(185 − 145.2)² = 3.18 × 10⁶ mm⁴

web: 8·180³/12 + 1440·(90 − 145.2)² = 8.281 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3.18 × 10⁶ + 8.281 × 10⁶ = 1.146 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 190 − 145.2 = 44.77 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·44.77/1.146 × 10⁷ = 58.59 MPa

Jawapan

σ_atas = 58.59 MPa

13.Tegasan berkesan dalam tanah

Jawapan: u = 29.43 kPa

Tegasan berkesan (Terzaghi): rangka tanah menanggung σ′ = σ − u. Tegasan jumlah σ ialah berat segala-galanya di atas titik itu, Σγ·h, menggunakan berat unit kering di atas paras air bumi dan berat unit tepu di bawahnya. Di bawah paras air bumi, tekanan air liang ialah hidrostatik: u = γ_w·(kedalaman di bawah paras air bumi).

Tekanan air liang

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah paras air bumi.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

Jawapan

u = 29.43 kPa

14.Tegasan berkesan dalam tanah

Jawapan: σ = 95.5 kPa

Tegasan jumlah

Tambah berat setiap jalur tanah di atas X. Di atas paras air bumi gunakan berat unit kering, di bawahnya berat unit tepu.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2

σ = 16.5·1 + 20.5·2 + 19·2 = 95.5 kPa

Jawapan

σ = 95.5 kPa

15.Enapan pengukuhan

Jawapan: S = 30.48 mm

Pengukuhan primer lapisan lempung berketebalan H, menggunakan tegasan berkesan di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkukuh secara normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkukuh lebih memampat semula sepanjang C_r sehingga tekanan prapengukuhan σ′_p dan hanya mengikut C_c selepas itu. Masa: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan laluan saliran H_dr ialah H/2 apabila air boleh keluar di atas dan bawah, dan H apabila hanya satu sisi yang mengalir.

Tekanan prapengukuhan

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2.5·90 = 225 kPa

Bandingkan dengan tekanan prapengukuhan

σ′_f = 90 + 50 = 140 kPa ≤ 225 kPa

Enapan

Lempung kekal pada garis pemampatan semulanya.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.06·4.5/(1 + 0.7)·log₁₀(140/90) = 30.48 mm

Jawapan

S = 30.48 mm

16.Enapan pengukuhan

Jawapan: t = 272.2 hari

Laluan saliran

H_dr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m

H_dr,field = 7/2 = 3.5 m

Skalakan masa

t = T_v·H_dr²/c_v dengan T_v dan c_v yang sama di makmal dan lapangan.

t_field = 5·(3.5/0.0125)² = 392000 min

t_field = 392000/1440 = 272.2 hari

Jawapan

t = 272.2 hari

17.Daya hidrostatik

Jawapan: F = 110.4 kN

Daya hidrostatik pada permukaan satah: F = ρ·g·y_c·A. Ia bertindak pada pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang sentiasa terletak di bawah sentroid.

Kedalaman sentroid dan luas

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

Daya paduan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·4.5 = 110.4 kN

Jawapan

F = 110.4 kN

18.Daya hidrostatik

Jawapan: F = 113.1 kN

Daya hidrostatik pada permukaan satah: F = ρ·g·y_c·A. Ia bertindak pada pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang sentiasa terletak di bawah sentroid.

Kedalaman sentroid dan luas

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

Daya paduan

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.25·5 = 113.1 kN

Jawapan

F = 113.1 kN

19.Geseran paip & kehilangan turus

Jawapan: Δp = 62.5 kPa

Aliran paip: nombor Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membezakan aliran lamina (Re di bawah kira-kira 2000) daripada aliran gelora (di atas kira-kira 4000). Geseran sepanjang paip menyebabkan kehilangan turus Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Alat sambungan, injap, masukan dan keluaran menambah kehilangan kecil h_m = ΣK·V²/(2g). Antara dua permukaan takungan terbuka persamaan tenaga memberikan Δz = h_f + h_m, dengan kehilangan keluaran K = 1 disertakan.

Kehilangan turus

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(200/0.25)·2.5²/(2·9.81) = 6.371 m

Susutan tekanan

Paip itu mengufuk dan halaju tidak berubah, jadi persamaan tenaga dipermudahkan kepada Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·6.371 = 62500 Pa = 62.5 kPa

Jawapan

Δp = 62.5 kPa

20.Geseran paip & kehilangan turus

Jawapan: H = 7.827 m

Halaju

V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s

V²/(2g) = 0.2295 m

Pekali kehilangan

f·L/D = 0.022·300/0.3 = 22

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 = 11.1

Persamaan tenaga

Pancutan keluaran masih membawa turus halajunya; ia bukan kehilangan tetapi mesti dibekalkan.

H = (1 + 22 + 11.1)·0.2295 = 7.827 m

Jawapan

H = 7.827 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawapan: Q = 0.2024 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam dalam saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n pekali kekasaran, S cerun dasar (m/m) dan R = A/P jejari hidraulik: luas aliran dibahagi perimeter basah. Hanya sempadan yang bersentuhan dengan air dikira dalam P, bukan permukaan bebas. Segi empat tepat: A = b·y, P = b + 2y. Trapezoid dengan cerun sisi z:1 (mengufuk:menegak): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Paip bulat yang mengalir penuh atau separuh penuh mempunyai R = D/4.

Geometri

A = 0.3181 m², R = D/4 = 0.225 m

Halaju

V = (1/0.013)·0.225^2/3·0.0005^1/2 = 0.6363 m/s

Kadar alir

Q = A·V = 0.3181·0.6363 = 0.2024 m³/s

Jawapan

Q = 0.2024 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawapan: S = 0.0007736 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·1.7)·1.7 = 11.39 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1.7·√(1 + 1²) = 9.808 m

R = A/P = 1.161 m

Selesaikan Manning untuk S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·14/(11.39·1.105) = 0.02781

S = 0.02781² = 0.0007736

Jawapan

S = 0.0007736

Itu ialah penurunan 0.7736 m setiap kilometer.

23.Pam & kuasa pam

Jawapan: P_shaft = 15.56 kW

Kuasa pam: kuasa yang diberikan kepada air ialah kuasa hidraulik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Aci mesti menyalurkan lebih kerana pam kehilangan sebahagian: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor mengambil P_el = P_shaft/η_motor. Turus pam H diperoleh daripada persamaan tenaga: ketinggian statik + turus tekanan + semua kehilangan geseran dan kehilangan kecil.

Kuasa hidraulik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·74 = 10.89 kW

Kuasa aci

P_shaft = P_h/η = 10.89/0.7 = 15.56 kW

Jawapan

P_shaft = 15.56 kW

24.Pam & kuasa pam

Jawapan: P_shaft = 18.63 kW

Halaju

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

Kehilangan turus

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11.25 + 8)·0.1859 = 3.579 m

Turus pam

H = Δz + h_L = 17 + 3.579 = 20.58 m

Kuasa aci

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·20.58/0.65 = 18.63 kW

Jawapan

P_shaft = 18.63 kW

25.Nilai masa wang

Jawapan: PV = 45973 €

Nilai masa wang: wang hari ini bernilai lebih daripada jumlah yang sama pada masa hadapan, kerana ia boleh memperoleh faedah. Dengan kadar faedah i bagi setiap tempoh, suatu jumlah bertambah sebagai FV = PV·(1 + i)ⁿ. Siri bayaran yang sama (anuiti) dinilai dengan menjumlahkan setiap bayaran, yang memberikan formula anuiti.

Faktor anuiti

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.5403)/0.08 = 5.747

Nilai kini

PV = 8 000·5.747 = €45 973.11

Jawapan

PV = €45 973.11

26.Nilai masa wang

Jawapan: FV = 17366 €

Kadar bulanan dan bilangan deposit

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·22 = 264

Nilai masa hadapan deposit

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1.695 − 1)/0.002 = €17 366.10

Jawapan

FV = €17 366.10

Anda sendiri membayar €13 200; selebihnya ialah faedah.

27.NPV & IRR

Jawapan: NPV = −7430 €

Nilai kini bersih: diskaunkan setiap aliran tunai kembali ke hari ini dengan kadar pulangan yang diperlukan r, kemudian jumlahkannya: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projek dengan NPV > 0 memperoleh lebih daripada r dan menambah nilai. Kadar pulangan dalaman (IRR) ialah kadar yang menjadikan NPV = 0.

Nilai kini aliran tunai tahunan

11 500·5.747 = 66 086.35

Nilai kini nilai sisa

12 000/1.851 = 6 483.23

NPV

NPV = −80 000 + 66 086.35 + 6 483.23 = −€7 430.43

Jawapan

NPV = −€7 430.43

28.NPV & IRR

Jawapan: MIRR = 22.26 %

IRR terubah suai: majmukkan setiap aliran masuk ke hadapan hingga hujung projek pada kadar pelaburan semula (biasanya kos modal) untuk mendapatkan nilai akhir TV. MIRR ialah kadar yang menukarkan pelaburan awal kepada TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Nilai akhir aliran masuk

8 500·1.12³ = 11 941.89

9 500·1.12² = 11 916.80

11 000·1.12¹ = 12 320.00

8 500·1.12⁰ = 8 500.00

TV = 44 678.69

MIRR

MIRR = (44 678.69/20 000)^1/4 − 1 = 22.26%

Jawapan

MIRR = 22.26%

29.Taburan normal

Jawapan: z = 1.15

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.7499)/2 = 0.8749

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.8749 di dalam jadual dan baca z.

z = 1.15

Jawapan

z = 1.15

30.Taburan normal

Jawapan: x = 26.95 min

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

Kembali kepada x

x = 32 + −0.8416·6 = 26.95 min

Jawapan

x = 26.95 min

Ini ialah bahan latihan bebas. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau disokong oleh organisasi yang mengendalikan peperiksaan ini, dan nama peperiksaan hanya digunakan untuk menerangkan kandungannya. FE exam dikendalikan oleh NCEES, yang tidak bergabung dengan ExamProblems dan tidak menyokongnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil