Latihan peperiksaan FE Awam: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 30 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegasan berkesan dalam tanah

Tegasan jumlah: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air liang: u = γ_w·(z − z_w)
Tegasan berkesan: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9.81 kN/m³

Enapan pengukuhan

Terkukuh secara normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegasan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkukuh lebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkukuh lebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Nisbah pengukuhan lebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Masa untuk pengukuhan: t = T_v·H_dr²/c_v
Laluan saliran: H_dr = H/2 (saliran berganda), H (saliran tunggal)
Faktor masa: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

Daya hidrostatik

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Daya pada dinding menegak: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Segi empat tepat: I_c = bH³/12

Geseran paip & kehilangan turus

Nombor Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rejim aliran: lamina di bawah Re ≈ 2000, gelora di atas Re ≈ 4000
Halaju min: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kehilangan kecil: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K lazim: masukan 0.5, keluaran 1.0, lengkuk 90° ≈ 0.3
Susutan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua takungan terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Kadar alir: Q = A·V
Jejari hidraulik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Segi empat tepat: A = b·y, P = b + 2y
Trapezoid (cerun sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Paip bulat, penuh atau separuh penuh: R = D/4
Cerun yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pam & kuasa pam

Kuasa hidraulik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Kuasa aci: P_shaft = P_h/η_pump
Kuasa elektrik: P_el = P_shaft/η_motor
Turus pam: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kehilangan sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai masa wang

Nilai masa hadapan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai kini: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa tempoh setahun: i = r/m, N = m·n
Anuiti, nilai kini: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuiti, nilai masa hadapan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Kaedah

Lukis garis masa dengan setiap aliran tunai dan masanya.
Padankan kadar dengan tempoh: kadar bulanan untuk bayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan formula anuiti untuk bayaran yang sama.
Semak tanda dan peringkat magnitud jawapan.

NPV & IRR

Nilai kini bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Aliran tunai yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Kadar pulangan dalaman: r yang menjadikan NPV = 0
Keputusan: terima apabila NPV > 0 (atau IRR > pulangan yang diperlukan)

Kaedah

Senaraikan semua aliran tunai dengan tahunnya; pelaburan pada tahun 0 adalah negatif.
Diskaunkan setiap aliran tunai: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkannya untuk mendapatkan NPV. Positif bermaksud projek memperoleh lebih daripada r.
Untuk IRR, cari kadar yang menjadikan NPV sifar melalui cuba-cuba atau interpolasi.

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_B.

L = 8 mP₁ = 45 kN pada 4 mP₂ = 45 kN pada 5 m

R_B = kN

2.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_A.

L = 6 mP = 40 kN pada 5 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 2 m

R_A = kN

3.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 2 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 55 kN

F_AB = kN

4.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 3 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 30 kNbeban mengufuk = 5 kN ←

F_AC = kN

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

35 kN @ 2 m40 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 6 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mP = 45 kN pada 6 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (keluli)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1.5 m dari penyokong B. Cari pesongan maksimum δ_max rasuk.

P = 7 kNb = 1.5 mL = 5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 105 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 105 kNn = 2L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 140 mm dan setebal 18 mm, kedalaman keseluruhan 340 mm dan web setebal 14 mm. Ia menanggung momen lentur 80 kN·m pada paksi x. Cari magnitud tegasan lentur σ_j pada simpang antara web dengan bebibir atas.

B = 140 mmH = 340 mmt_f = 18 mmt_w = 14 mmM = 80 kN·m

σ_j = MPa

13.Tegasan berkesan dalam tanahSederhana

Bagi profil tanah yang ditunjukkan, cari tegasan berkesan menegak σ′ pada titik X.

z = 4 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³pasir: γ_d = 16 kN/m³pasir: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegasan berkesan dalam tanahSukar

Bagi profil tanah yang ditunjukkan, cari tegasan jumlah menegak σ pada titik X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³pasir: γ_d = 15.5 kN/m³pasir: γ_sat = 19.5 kN/m³lempung: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

15.Enapan pengukuhanSederhana

Satu lapisan lempung terkukuh lebih setebal 7.5 m mempunyai C_c = 0.4, C_r = 0.02 dan e₀ = 0.65. Pada kedalaman tengahnya tegasan berkesan menegak ialah 60 kPa dan nisbah pengukuhan lebih ialah OCR = 2. Sebuah bangunan baharu menambah 110 kPa tegasan menegak pada kedalaman tengah. Cari enapan pengukuhan primer S dalam mm.

H = 7.5 mC_c = 0.4C_r = 0.02e₀ = 0.65σ′₀ = 60 kPaOCR = 2Δσ = 110 kPa

S = mm

16.Enapan pengukuhanSukar

Satu lapisan lempung setebal 5 m mempunyai pekali pengukuhan c_v = 5 m²/tahun. Ia terletak di antara dua lapisan pasir, jadi air mengalir keluar di atas dan di bawah. Bagi pengukuhan purata 50% faktor masa ialah T_v = 0.197. Berapa tahun t yang diambil oleh lapisan itu untuk mencapai 50% pengukuhan?

H = 5 mc_v = 5 m²/tahunU = 50%T_v = 0.197saliran berganda

t = tahun

17.Daya hidrostatikSederhana

Satu pintu air segi empat tepat menegak selebar 1.5 m terletak pada dinding tangki air, dengan tepi atasnya 2 m di bawah permukaan. Cari daya hidrostatik paduan F pada pintu air itu.

d = 2 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.Daya hidrostatikSukar

Satu pintu air segi empat tepat menegak selebar 3 m terletak pada dinding tangki gliserin, dengan tepi atasnya 3 m di bawah permukaan. Cari kedalaman y_cp pusat tekanan di bawah permukaan.

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.Geseran paip & kehilangan turusSederhana

Air mengalir pada 75 L/s melalui paip sepanjang 800 m dengan diameter dalam 300 mm. Gunakan faktor geseran Darcy f = 0.018 dan g = 9.81 m/s². Cari kehilangan turus geseran h_f.

Q = 75 L/sL = 800 mD = 300 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.Geseran paip & kehilangan turusSukar

Dua takungan terbuka disambung oleh paip sepanjang 400 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor geseran Darcy f = 0.018. Permukaan air takungan atas berada 31 m di atas takungan bawah. Kehilangan kecil ialah masukan bertepi segi empat (K = 0.5), 3 lengkuk (K = 0.3 setiap satu), injap (K = 2) dan keluaran ke dalam takungan bawah (K = 1.0). Gunakan g = 9.81 m/s². Cari kadar alir Q dalam L/s.

Δz = 31 mL = 400 mD = 250 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1.0

Q = L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sederhana

Satu saluran tanah berumput trapezoid mempunyai lebar dasar 2.5 m dan cerun sisi 1.5:1 (mengufuk:menegak). Air mengalir secara seragam sedalam 0.7 m. n Manning = 0.03 dan cerun dasar ialah S = 0.0015. Cari kadar alir Q dalam m³/s.

b = 2.5 my = 0.7 mz = 1.5n = 0.03S = 0.0015

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sukar

Satu saluran konkrit siap trapezoid dengan lebar dasar 3.5 m dan cerun sisi 3:1 (mengufuk:menegak) mesti membawa 9.2 m³/s dalam aliran seragam pada kedalaman 1 m. n Manning = 0.012. Cari cerun dasar yang diperlukan S (dalam m/m).

Q = 9.2 m³/sb = 3.5 my = 1 mz = 3n = 0.012

S = m/m

23.Pam & kuasa pamSederhana

Satu pam menghantar 15 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan turus 52 m. Kecekapan pam ialah 78% dan motor elektrik yang memacunya mempunyai kecekapan 90%. Gunakan g = 9.81 m/s². Cari kuasa elektrik P_el yang diambil oleh motor, dalam kW.

Q = 15 L/sH = 52 mη_pump = 78%η_motor = 90%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.Pam & kuasa pamSukar

Satu pam memindahkan 20 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari takungan bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 5 m lebih tinggi. Paip itu sepanjang 100 m dengan diameter dalam 100 mm dan faktor geseran Darcy f = 0.022; jumlah pekali kehilangan kecil ialah ΣK = 2 (masukan dan keluaran disertakan). Gunakan g = 9.81 m/s². Kecekapan pam ialah 72%. Cari kuasa aci P_shaft dalam kW.

Q = 20 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.022ΣK = 2η = 72%

P_shaft = kW

25.Nilai masa wangSederhana

Kad kredit mengenakan kadar faedah nominal 22% setahun, dimajmukkan setiap suku tahun. Cari kadar tahunan berkesan EAR dalam peratus.

r = 22%m = 4

EAR = %

26.Nilai masa wangSukar

Pinjaman €10 000 dibayar balik dengan bayaran bulanan yang sama sepanjang 7 tahun pada 5.4% setahun, dimajmukkan setiap bulan. Berapakah jumlah faedah I yang dibayar sepanjang hayat pinjaman?

P = €10 0005.4% / 12N = 84

I = €

27.NPV & IRRSederhana

Satu pelaburan sebanyak €60 000 memberikan aliran tunai berikut pada akhir tahun 1 hingga 4: €14 000, €30 000, €21 000, €19 000. Kos modal ialah 12%. Cari nilai kini bersih NPV.

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 14 000CF₂ = 30 000CF₃ = 21 000CF₄ = 19 000

NPV = €

28.NPV & IRRSukar

Satu projek berkos €20 000 dan memberi pulangan €10 500, €10 000, €12 000 pada akhir tahun 1 hingga 3. Cari kadar pulangan dalamannya IRR dalam peratus.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 500CF₂ = 10 000CF₃ = 12 000

IRR = %

29.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.6923. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.6923

z =

30.Taburan normalSukar

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 90% daripadanya (persentil ke-90).

μ = 65σ = 10P = 90%

x = markah

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 50.63 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·4 + 45·5

R_B = 405/8 = 50.63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 50.63 = 39.38 kN

Jawapan

R_B = 50.63 kN

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 16.67 kN

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, bertindak pada x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·5 + 6·2·1

R_B = 212/6 = 35.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 35.33 = 16.67 kN

Jawapan

R_A = 16.67 kN

3.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −46.67 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·2 → C_y = 22 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 22 = 33 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −33/0.7071 = −46.67 kN

Jawapan

F_AB = −46.67 kN (mampatan)

4.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = 3.75 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·1 − 5·3 → C_y = 3.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 3.75 = 26.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3.75/0.7071 = −5.303 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−5.303)·0.7071 = 3.75 kN

Jawapan

F_AC = 3.75 kN (tegangan)

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 56.67 kN, R₂ = 18.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 56.67, M_C = 73.33 kN·m, M_D = 55, M_E = 36.67, M_F = 18.33, M_G = 0

Jawapan

Tanda C: M_C = 73.33 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 156 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·6 + 4·10·5

R_B = 470/10 = 47 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 47 = 38 kN

Potong pada x = 6 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 38·6 − 4·6·3 = 156 kN·m

Jawapan

M_x = 156 kN·m

7.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 8.566 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 8.566 mm

Jawapan

δ_max = 8.566 mm

8.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 23.31 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 7000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

Kedudukan maksimum

Menetapkan cerun dalam segmen yang lebih panjang kepada sifar memberikan kedudukannya.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Pesongan maksimum

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 23.31 mm

Jawapan

δ_max = 23.31 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 39.48 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/3000² = 39478 N = 39.48 kN

Jawapan

P_cr = 39.48 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 39.32 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 39.32 mm

Jawapan

d = 39.32 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 106.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 65.6 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

web: A_w = 20·300 = 6000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·305 + 6000·150)/7000 = 172.1 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 100·10³/12 + 1000·(305 − 172.1)² = 1.766 × 10⁷ mm⁴

web: 20·300³/12 + 6000·(150 − 172.1)² = 4.794 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.766 × 10⁷ + 4.794 × 10⁷ = 6.56 × 10⁷ mm⁴ = 65.6 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 65.6 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_j = 74.35 MPa

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 340 − 2·18 = 304 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·340³ − 126·304³)/12

I_x = 1.636 × 10⁸ mm⁴

Tegasan lenturan

y = 170 − 18 = 152 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·152/1.636 × 10⁸ = 74.35 MPa

Jawapan

σ_j = 74.35 MPa

13.Tegasan berkesan dalam tanah

Jawapan: σ′ = 49.38 kPa

Tegasan berkesan (Terzaghi): rangka tanah menanggung σ′ = σ − u. Tegasan jumlah σ ialah berat segala-galanya di atas titik itu, Σγ·h, menggunakan berat unit kering di atas paras air bumi dan berat unit tepu di bawahnya. Di bawah paras air bumi, tekanan air liang ialah hidrostatik: u = γ_w·(kedalaman di bawah paras air bumi).

Tegasan jumlah

Tambah berat setiap jalur tanah di atas X. Di atas paras air bumi gunakan berat unit kering, di bawahnya berat unit tepu.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·2 + 18.5·2 = 69 kPa

Tekanan air liang

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah paras air bumi.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

Tegasan berkesan

σ′ = σ − u = 69 − 19.62 = 49.38 kPa

Jawapan

σ′ = 49.38 kPa

14.Tegasan berkesan dalam tanah

Jawapan: σ = 131 kPa

Tegasan jumlah

Tambah berat setiap jalur tanah di atas X. Di atas paras air bumi gunakan berat unit kering, di bawahnya berat unit tepu.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3

σ = 15.5·1 + 19.5·3 + 19·3 = 131 kPa

Jawapan

σ = 131 kPa

15.Enapan pengukuhan

Jawapan: S = 302.4 mm

Pengukuhan primer lapisan lempung berketebalan H, menggunakan tegasan berkesan di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkukuh secara normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkukuh lebih memampat semula sepanjang C_r sehingga tekanan prapengukuhan σ′_p dan hanya mengikut C_c selepas itu. Masa: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan laluan saliran H_dr ialah H/2 apabila air boleh keluar di atas dan bawah, dan H apabila hanya satu sisi yang mengalir.

Tekanan prapengukuhan

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·60 = 120 kPa

Bandingkan dengan tekanan prapengukuhan

σ′_f = 60 + 110 = 170 kPa > 120 kPa

Enapan

Pemampatan semula sehingga σ′_p, pemampatan dara selepasnya.

S = 0.02·7.5/(1 + 0.65)·log₁₀(120/60) + 0.4·7.5/(1 + 0.65)·log₁₀(170/120)

S = 27.37 + 275 = 302.4 mm

Jawapan

S = 302.4 mm

16.Enapan pengukuhan

Jawapan: t = 0.2463 tahun

Laluan saliran

H_dr = H/2 = 5/2 = 2.5 m

Masa

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.197·2.5²/5 = 0.2463 tahun

Jawapan

t = 0.2463 tahun

17.Daya hidrostatik

Jawapan: F = 88.29 kN

Daya hidrostatik pada permukaan satah: F = ρ·g·y_c·A. Ia bertindak pada pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang sentiasa terletak di bawah sentroid.

Kedalaman sentroid dan luas

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

Daya paduan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

Jawapan

F = 88.29 kN

18.Daya hidrostatik

Jawapan: y_cp = 4.083 m

Daya hidrostatik pada permukaan satah: F = ρ·g·y_c·A. Ia bertindak pada pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang sentiasa terletak di bawah sentroid.

Kedalaman sentroid dan luas

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Daya paduan

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4·6 = 296.7 kN

Pusat tekanan

Tekanan bertambah dengan kedalaman, jadi daya paduan bertindak di bawah sentroid.

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 2/(4·6) = 4.083 m

Jawapan

y_cp = 4.083 m

19.Geseran paip & kehilangan turus

Jawapan: h_f = 2.754 m

Aliran paip: nombor Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membezakan aliran lamina (Re di bawah kira-kira 2000) daripada aliran gelora (di atas kira-kira 4000). Geseran sepanjang paip menyebabkan kehilangan turus Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Alat sambungan, injap, masukan dan keluaran menambah kehilangan kecil h_m = ΣK·V²/(2g). Antara dua permukaan takungan terbuka persamaan tenaga memberikan Δz = h_f + h_m, dengan kehilangan keluaran K = 1 disertakan.

Halaju min

A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²

V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s

Turus halaju

V²/(2g) = 1.061²/(2·9.81) = 0.05738 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(800/0.3)·1.061²/(2·9.81) = 2.754 m

Jawapan

h_f = 2.754 m

20.Geseran paip & kehilangan turus

Jawapan: Q = 210.1 L/s

Pekali kehilangan

f·L/D = 0.018·400/0.25 = 28.8

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

Persamaan tenaga

Kedua-dua permukaan terbuka kepada udara dan hampir pegun, jadi seluruh Δz hilang dalam paip.

31 = (28.8 + 4.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·31/33.2) = 4.28 m/s

Kadar alir

Q = V·π·D²/4 = 4.28·0.04909 = 0.2101 m³/s = 210.1 L/s

Jawapan

Q = 210.1 L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawapan: Q = 2.007 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam dalam saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n pekali kekasaran, S cerun dasar (m/m) dan R = A/P jejari hidraulik: luas aliran dibahagi perimeter basah. Hanya sempadan yang bersentuhan dengan air dikira dalam P, bukan permukaan bebas. Segi empat tepat: A = b·y, P = b + 2y. Trapezoid dengan cerun sisi z:1 (mengufuk:menegak): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Paip bulat yang mengalir penuh atau separuh penuh mempunyai R = D/4.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 1.5·0.7)·0.7 = 2.485 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·0.7·√(1 + 1.5²) = 5.024 m

R = A/P = 0.4946 m

Halaju

V = (1/0.03)·0.4946^2/3·0.0015^1/2 = 0.8074 m/s

Kadar alir

Q = A·V = 2.485·0.8074 = 2.007 m³/s

Jawapan

Q = 2.007 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawapan: S = 0.0005004 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 3·1)·1 = 6.5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·1·√(1 + 3²) = 9.825 m

R = A/P = 0.6616 m

Selesaikan Manning untuk S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.012·9.2/(6.5·0.7593) = 0.02237

S = 0.02237² = 0.0005004

Jawapan

S = 0.0005004

Itu ialah penurunan 0.5004 m setiap kilometer.

23.Pam & kuasa pam

Jawapan: P_el = 10.9 kW

Kuasa pam: kuasa yang diberikan kepada air ialah kuasa hidraulik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Aci mesti menyalurkan lebih kerana pam kehilangan sebahagian: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor mengambil P_el = P_shaft/η_motor. Turus pam H diperoleh daripada persamaan tenaga: ketinggian statik + turus tekanan + semua kehilangan geseran dan kehilangan kecil.

Kuasa hidraulik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·52 = 7.652 kW

Kuasa aci

P_shaft = 7.652/0.78 = 9.81 kW

Kuasa elektrik

P_el = 9.81/0.9 = 10.9 kW

Jawapan

P_el = 10.9 kW

24.Pam & kuasa pam

Jawapan: P_shaft = 3.524 kW

Halaju

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

Kehilangan turus

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 2)·0.3305 = 7.932 m

Turus pam

H = Δz + h_L = 5 + 7.932 = 12.93 m

Kuasa aci

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·12.93/0.72 = 3.524 kW

Jawapan

P_shaft = 3.524 kW

25.Nilai masa wang

Jawapan: EAR = 23.88 %

Nilai masa wang: wang hari ini bernilai lebih daripada jumlah yang sama pada masa hadapan, kerana ia boleh memperoleh faedah. Dengan kadar faedah i bagi setiap tempoh, suatu jumlah bertambah sebagai FV = PV·(1 + i)ⁿ. Siri bayaran yang sama (anuiti) dinilai dengan menjumlahkan setiap bayaran, yang memberikan formula anuiti.

Kadar bagi setiap tempoh

r/m = 0.22/4 = 0.055

Majmukkan sepanjang satu tahun

EAR = (1 + 0.055)⁴ − 1 = 1.239 − 1 = 23.88%

Jawapan

EAR = 23.88%

EAR sentiasa melebihi kadar nominal apabila faedah dimajmukkan lebih daripada sekali setahun.

26.Nilai masa wang

Jawapan: I = 2031 €

Bayaran bulanan

i = 0.0045, N = 84

A = 10 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)⁻⁸⁴) = €143.23

Jumlah faedah

I = N·A − P = 84·143.2 − 10 000 = €2 031.01

Jawapan

I = €2 031.01

27.NPV & IRR

Jawapan: NPV = 3438 €

Nilai kini bersih: diskaunkan setiap aliran tunai kembali ke hari ini dengan kadar pulangan yang diperlukan r, kemudian jumlahkannya: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projek dengan NPV > 0 memperoleh lebih daripada r dan menambah nilai. Kadar pulangan dalaman (IRR) ialah kadar yang menjadikan NPV = 0.

Nilai kini setiap aliran tunai

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 14 000/1.12 = 12 500.00

CF₂/(1 + 0.12)² = 30 000/1.254 = 23 915.82

CF₃/(1 + 0.12)³ = 21 000/1.405 = 14 947.39

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 19 000/1.574 = 12 074.84

Jumlahkannya

NPV = €3 438.05

Jawapan

NPV = €3 438.05

NPV positif, jadi projek itu memperoleh lebih daripada pulangan yang diperlukan.

28.NPV & IRR

Jawapan: IRR = 28.1 %

Kurung IRR

NPV menurun apabila kadar meningkat, jadi IRR terletak antara kadar dengan NPV positif dan kadar dengan NPV negatif.

NPV(25%) = 944.00

NPV(30%) = −543.92

Sempitkan

Interpolasi linear memberikan anggaran pertama; mengulanginya (atau fungsi IRR pada kalkulator) memberikan kadar tepat.

IRR ≈ 25 + 5·944.00/(944.00 − (−543.92)) = 28.17%

tepat: NPV(28.1%) = 0 → IRR = 28.1%

Jawapan

IRR = 28.1%

29.Taburan normal

Jawapan: z = 1.02

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.6923)/2 = 0.8461

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.8461 di dalam jadual dan baca z.

z = 1.02

Jawapan

z = 1.02

30.Taburan normal

Jawapan: x = 77.82 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

Kembali kepada x

x = 65 + 1.282·10 = 77.82 markah

Jawapan

x = 77.82 markah

Ini ialah bahan latihan bebas. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau disokong oleh organisasi yang mengendalikan peperiksaan ini, dan nama peperiksaan hanya digunakan untuk menerangkan kandungannya. FE exam dikendalikan oleh NCEES, yang tidak bergabung dengan ExamProblems dan tidak menyokongnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil