Latihan peperiksaan FE Awam: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 30 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegasan berkesan dalam tanah

Tegasan jumlah: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air liang: u = γ_w·(z − z_w)
Tegasan berkesan: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9.81 kN/m³

Enapan pengukuhan

Terkukuh secara normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegasan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkukuh lebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkukuh lebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Nisbah pengukuhan lebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Masa untuk pengukuhan: t = T_v·H_dr²/c_v
Laluan saliran: H_dr = H/2 (saliran berganda), H (saliran tunggal)
Faktor masa: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

Daya hidrostatik

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Daya pada dinding menegak: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Segi empat tepat: I_c = bH³/12

Geseran paip & kehilangan turus

Nombor Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rejim aliran: lamina di bawah Re ≈ 2000, gelora di atas Re ≈ 4000
Halaju min: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kehilangan kecil: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K lazim: masukan 0.5, keluaran 1.0, lengkuk 90° ≈ 0.3
Susutan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua takungan terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Kadar alir: Q = A·V
Jejari hidraulik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Segi empat tepat: A = b·y, P = b + 2y
Trapezoid (cerun sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Paip bulat, penuh atau separuh penuh: R = D/4
Cerun yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pam & kuasa pam

Kuasa hidraulik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Kuasa aci: P_shaft = P_h/η_pump
Kuasa elektrik: P_el = P_shaft/η_motor
Turus pam: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kehilangan sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai masa wang

Nilai masa hadapan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai kini: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa tempoh setahun: i = r/m, N = m·n
Anuiti, nilai kini: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuiti, nilai masa hadapan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Kaedah

Lukis garis masa dengan setiap aliran tunai dan masanya.
Padankan kadar dengan tempoh: kadar bulanan untuk bayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan formula anuiti untuk bayaran yang sama.
Semak tanda dan peringkat magnitud jawapan.

NPV & IRR

Nilai kini bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Aliran tunai yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Kadar pulangan dalaman: r yang menjadikan NPV = 0
Keputusan: terima apabila NPV > 0 (atau IRR > pulangan yang diperlukan)

Kaedah

Senaraikan semua aliran tunai dengan tahunnya; pelaburan pada tahun 0 adalah negatif.
Diskaunkan setiap aliran tunai: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkannya untuk mendapatkan NPV. Positif bermaksud projek memperoleh lebih daripada r.
Untuk IRR, cari kadar yang menjadikan NPV sifar melalui cuba-cuba atau interpolasi.

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_A.

L = 4 mP₁ = 30 kN pada 1 mP₂ = 20 kN pada 3 m

R_A = kN

2.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk majmuk terikat pada dinding di A, mempunyai engsel dalaman di C (4 m dari A) dan bertumpu pada penggelek di D (8 m dari A). Ia membawa beban titik P pada 6 m dari A dan beban titik Q pada 3 m dari A. Cari tindak balas R_D pada penggelek.

AC = 4 mAD = 8 mP = 75 kN pada 6 mQ = 10 kN pada 3 m

R_D = kN

3.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 3 mB ialah 7 m dari Abeban tegak = 20 kN

F_AB = kN

4.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 15 kN ↓F: 30 kN ↓G: 35 kN ↓H: 30 kN ↓H: 35 kN ←

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1 m hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P₁ di antara penyokong dan beban titik P₂ pada C. Cari momen lentur M_x di bawah beban P₁. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 7 mP₁ = 15 kN pada 1.5 mP₂ = 50 kN pada 7 mpenyokong pada x = 0 dan x = 6 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mP = 10 kN pada 1.5 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

7.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (keluli)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. EI adalah malar. Cari magnitud momen lentur M_A pada hujung tetap.

L = 4 mw = 12 kN/m

M_A = kN·m

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 85 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 85 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 5 kN·m. Cari tegasan lenturan σ_bawah pada tepi bawah.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmM = 5 kN·m

σ_bawah = MPa

13.Tegasan berkesan dalam tanahSederhana

Bagi profil tanah yang ditunjukkan, cari tegasan berkesan menegak σ′ pada titik X.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegasan berkesan dalam tanahSukar

Bagi profil tanah yang ditunjukkan, cari tegasan berkesan menegak σ′ pada titik X.

z = 5.5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³pasir: γ_d = 17 kN/m³pasir: γ_sat = 20 kN/m³lempung: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.Enapan pengukuhanSederhana

Satu lapisan lempung terkukuh lebih setebal 3.5 m mempunyai C_c = 0.2, C_r = 0.04 dan e₀ = 0.75. Pada kedalaman tengahnya tegasan berkesan menegak ialah 105 kPa dan tekanan prapengukuhan ialah 145 kPa. Sebuah bangunan baharu menambah 35 kPa tegasan menegak pada kedalaman tengah. Cari enapan pengukuhan primer S dalam mm.

H = 3.5 mC_c = 0.2C_r = 0.04e₀ = 0.75σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 145 kPaΔσ = 35 kPa

S = mm

16.Enapan pengukuhanSukar

Dalam ujian oedometer makmal, spesimen lempung setebal 20 mm, mengalir di atas dan bawah, mencapai 50% pengukuhan dalam 15 min. Di lapangan lempung yang sama membentuk lapisan setebal 8 m. Ia terletak di atas batuan tak telap, dengan pasir di atasnya, jadi air mengalir keluar hanya di atas. Berapa hari t yang diambil oleh lapisan lapangan untuk mencapai 50% pengukuhan?

h_lab = 20 mmt_lab = 15 minH = 8 mlapangan: saliran tunggal

t = hari

17.Daya hidrostatikSederhana

Satu pintu air segi empat tepat menegak selebar 3 m terletak pada dinding tangki air, dengan tepi atasnya 3 m di bawah permukaan. Cari daya hidrostatik paduan F pada pintu air itu.

d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.Daya hidrostatikSukar

Satu pintu air segi empat tepat menegak selebar 1 m terletak pada dinding tangki air laut, dengan tepi atasnya 0.5 m di bawah permukaan. Cari daya hidrostatik paduan F pada pintu air itu.

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.Geseran paip & kehilangan turusSederhana

Air (ρ = 1000 kg/m³) mengalir pada 2 m/s melalui paip mengufuk sepanjang 100 m dengan diameter dalam 50 mm. Gunakan faktor geseran Darcy f = 0.025 dan g = 9.81 m/s². Cari susutan tekanan Δp sepanjang paip dalam kPa.

V = 2 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Geseran paip & kehilangan turusSukar

Dua takungan terbuka disambung oleh paip sepanjang 500 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor geseran Darcy f = 0.015. Kehilangan kecil ialah masukan bertepi segi empat (K = 0.5), 4 lengkuk (K = 0.3 setiap satu), injap (K = 5) dan keluaran ke dalam takungan bawah (K = 1.0). Gunakan g = 9.81 m/s². Apakah beza aras air Δz antara takungan yang memberikan kadar alir 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 500 mD = 250 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sederhana

Satu saluran kerikil trapezoid mempunyai lebar dasar 2 m dan cerun sisi 1.5:1 (mengufuk:menegak). Air mengalir secara seragam sedalam 1.1 m. n Manning = 0.025 dan cerun dasar ialah S = 0.002. Cari kadar alir Q dalam m³/s.

b = 2 my = 1.1 mz = 1.5n = 0.025S = 0.002

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sukar

Satu pembetung konkrit dengan diameter dalam 300 mm (n Manning = 0.013) mesti mencapai halaju pembersihan sendiri 0.75 m/s apabila mengalir tepat penuh. Cari cerun minimum S (dalam m/m).

D = 300 mmn = 0.013V = 0.75 m/s

S = m/m

23.Pam & kuasa pamSederhana

Satu pam menghantar 60 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan turus 38 m. Kecekapan pam ialah 78% dan motor elektrik yang memacunya mempunyai kecekapan 90%. Gunakan g = 9.81 m/s². Cari kuasa elektrik P_el yang diambil oleh motor, dalam kW.

Q = 60 L/sH = 38 mη_pump = 78%η_motor = 90%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.Pam & kuasa pamSukar

Satu pam memindahkan 50 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari takungan bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 16 m lebih tinggi. Paip itu sepanjang 300 m dengan diameter dalam 150 mm dan faktor geseran Darcy f = 0.025; jumlah pekali kehilangan kecil ialah ΣK = 5 (masukan dan keluaran disertakan). Gunakan g = 9.81 m/s². Cari turus H yang mesti ditambah oleh pam.

Q = 50 L/sΔz = 16 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 5

H = m

25.Nilai masa wangSederhana

Kad kredit mengenakan kadar faedah nominal 20% setahun, dimajmukkan setengah tahunan. Cari kadar tahunan berkesan EAR dalam peratus.

r = 20%m = 2

EAR = %

26.Nilai masa wangSukar

Satu pinjaman €15 000 dibayar balik dengan bayaran bulanan yang sama sepanjang 6 tahun. Kadar faedah ialah 2.4% setahun, dikompaun setiap bulan. Cari bayaran bulanan A.

P = €15 0002.4% / 12N = 72

A = €

27.NPV & IRRSederhana

Satu pelaburan sebanyak €75 000 memberikan aliran tunai berikut pada akhir tahun 1 hingga 4: €23 000, €25 000, €20 000, €34 000. Kos modal ialah 12%. Cari nilai kini bersih NPV.

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 23 000CF₂ = 25 000CF₃ = 20 000CF₄ = 34 000

NPV = €

28.NPV & IRRSukar

Sebuah projek berkos €80 000 hari ini. Aliran tunainya ialah €12 000 pada hujung tahun 1 dan bertumbuh 4% setahun sehingga aliran tunai terakhir pada hujung tahun 8. Kos modal ialah 8%. Cari nilai kini bersih NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €12 000g = 4%n = 8r = 8%

NPV = €

29.Taburan normalSederhana

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 502 dan 550 h? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 500σ = 40x₁ = 502x₂ = 550

P =

30.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 25% daripadanya (persentil ke-25).

μ = 500σ = 40P = 25%

x = h

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 27.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1 + 20·3

R_B = 90/4 = 22.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 22.5 = 27.5 kN

Jawapan

R_A = 27.5 kN

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_D = 37.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan. Engsel dalaman tidak boleh menanggung momen lentur, yang memberikan satu persamaan tambahan: momen pada engsel bagi daya di kedua-dua sisi ialah sifar.

Bahagian CD

Engsel tiada momen, maka momen pada C bagi CD sahaja mesti seimbang.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 75·2

R_D = 37.5 kN

V_C = 75 − 37.5 = 37.5 kN

Jawapan

R_D = 37.5 kN

3.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −6.346 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·7 → C_y = 17.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 17.5 = 2.5 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 3/7.616 = 0.3939

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2.5/0.3939 = −6.346 kN

Jawapan

F_AB = −6.346 kN (mampatan)

4.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota BF

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 25 kN (T), BC: 25 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 50 kN (T), FG: 90 kN (C), GH: 90 kN (C), AF: 84.85 kN (C), HE: 70.71 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 42.43 kN (T), HC: 7.071 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: BF

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 4.375 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk. Beban juluran juga bertindak pada A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·1.5 + 50·7

R_B = 372.5/6 = 62.08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 62.08 = 2.917 kN

Keratan di bawah P₁ dan simpan bahagian kiri

M_x = R_A·1.5 = 2.917·1.5 = 4.375 kN·m

Jawapan

M_x = 4.375 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 20.63 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1.5 + 6·4·2

R_B = 63/4 = 15.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 34 − 15.75 = 18.25 kN

Potong pada x = 1.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 18.25·1.5 − 6·1.5·0.75 = 20.63 kN·m

Jawapan

M_x = 20.63 kN·m

7.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 3.164 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·3.2 × 10¹³) = 3.164 mm

Jawapan

δ_max = 3.164 mm

8.Pesongan rasuk

Jawapan: M_A = 24 kN·m

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·4/8 = 18 kN

Momen pada hujung tetap

Momen pada A bagi beban dan daya topang.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 96 − 72 = 24 kN·m

Jawapan

M_A = 24 kN·m

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 52.64 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/4000² = 52638 N = 52.64 kN

Jawapan

P_cr = 52.64 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 43.06 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 43.06 mm

Jawapan

d = 43.06 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 130, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 13.68 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

web: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·170 + 1600·80)/7200 = 150 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 280·20³/12 + 5600·(170 − 150)² = 2.427 × 10⁶ mm⁴

web: 10·160³/12 + 1600·(80 − 150)² = 1.125 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.427 × 10⁶ + 1.125 × 10⁷ = 1.368 × 10⁷ mm⁴ = 13.68 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 13.68 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_bawah = 18.09 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

web: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·275 + 3120·130)/10320 = 231.2 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 240·30³/12 + 7200·(275 − 231.2)² = 1.438 × 10⁷ mm⁴

web: 12·260³/12 + 3120·(130 − 231.2)² = 4.951 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.438 × 10⁷ + 4.951 × 10⁷ = 6.388 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 231.2 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·231.2/6.388 × 10⁷ = 18.09 MPa

Jawapan

σ_bawah = 18.09 MPa

13.Tegasan berkesan dalam tanah

Jawapan: σ′ = 78.38 kPa

Tegasan berkesan (Terzaghi): rangka tanah menanggung σ′ = σ − u. Tegasan jumlah σ ialah berat segala-galanya di atas titik itu, Σγ·h, menggunakan berat unit kering di atas paras air bumi dan berat unit tepu di bawahnya. Di bawah paras air bumi, tekanan air liang ialah hidrostatik: u = γ_w·(kedalaman di bawah paras air bumi).

Tegasan jumlah

Tambah berat setiap jalur tanah di atas X. Di atas paras air bumi gunakan berat unit kering, di bawahnya berat unit tepu.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·4 + 19·2 = 98 kPa

Tekanan air liang

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah paras air bumi.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

Tegasan berkesan

σ′ = σ − u = 98 − 19.62 = 78.38 kPa

Jawapan

σ′ = 78.38 kPa

14.Tegasan berkesan dalam tanah

Jawapan: σ′ = 55.35 kPa

Tegasan jumlah

Tambah berat setiap jalur tanah di atas X. Di atas paras air bumi gunakan berat unit kering, di bawahnya berat unit tepu.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2.5

σ = 17·1 + 20·2 + 17·2.5 = 99.5 kPa

Tekanan air liang

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah paras air bumi.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4.5 = 44.15 kPa

Tegasan berkesan

σ′ = σ − u = 99.5 − 44.15 = 55.35 kPa

Jawapan

σ′ = 55.35 kPa

15.Enapan pengukuhan

Jawapan: S = 9.995 mm

Pengukuhan primer lapisan lempung berketebalan H, menggunakan tegasan berkesan di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkukuh secara normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkukuh lebih memampat semula sepanjang C_r sehingga tekanan prapengukuhan σ′_p dan hanya mengikut C_c selepas itu. Masa: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan laluan saliran H_dr ialah H/2 apabila air boleh keluar di atas dan bawah, dan H apabila hanya satu sisi yang mengalir.

Bandingkan dengan tekanan prapengukuhan

σ′_f = 105 + 35 = 140 kPa ≤ 145 kPa

Enapan

Lempung kekal pada garis pemampatan semulanya.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.04·3.5/(1 + 0.75)·log₁₀(140/105) = 9.995 mm

Jawapan

S = 9.995 mm

16.Enapan pengukuhan

Jawapan: t = 6667 hari

Laluan saliran

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m

H_dr,field = 8 m

Skalakan masa

t = T_v·H_dr²/c_v dengan T_v dan c_v yang sama di makmal dan lapangan.

t_field = 15·(8/0.01)² = 9.6 × 10⁶ min

t_field = 9.6 × 10⁶/1440 = 6667 hari

Jawapan

t = 6667 hari

17.Daya hidrostatik

Jawapan: F = 103 kN

Daya hidrostatik pada permukaan satah: F = ρ·g·y_c·A. Ia bertindak pada pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang sentiasa terletak di bawah sentroid.

Kedalaman sentroid dan luas

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Daya paduan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

Jawapan

F = 103 kN

18.Daya hidrostatik

Jawapan: F = 18.85 kN

Daya hidrostatik pada permukaan satah: F = ρ·g·y_c·A. Ia bertindak pada pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang sentiasa terletak di bawah sentroid.

Kedalaman sentroid dan luas

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

Daya paduan

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.25·1.5 = 18.85 kN

Jawapan

F = 18.85 kN

19.Geseran paip & kehilangan turus

Jawapan: Δp = 100 kPa

Aliran paip: nombor Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membezakan aliran lamina (Re di bawah kira-kira 2000) daripada aliran gelora (di atas kira-kira 4000). Geseran sepanjang paip menyebabkan kehilangan turus Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Alat sambungan, injap, masukan dan keluaran menambah kehilangan kecil h_m = ΣK·V²/(2g). Antara dua permukaan takungan terbuka persamaan tenaga memberikan Δz = h_f + h_m, dengan kehilangan keluaran K = 1 disertakan.

Kehilangan turus

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(100/0.05)·2²/(2·9.81) = 10.19 m

Susutan tekanan

Paip itu mengufuk dan halaju tidak berubah, jadi persamaan tenaga dipermudahkan kepada Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·10.19 = 100000 Pa = 100 kPa

Jawapan

Δp = 100 kPa

20.Geseran paip & kehilangan turus

Jawapan: Δz = 17.94 m

Halaju

V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s

V²/(2g) = 0.4759 m

Pekali kehilangan

f·L/D = 0.015·500/0.25 = 30

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

Jumlah kehilangan turus

h_f = 30·0.4759 = 14.28 m

h_m = 7.7·0.4759 = 3.665 m

Δz = h_f + h_m = 17.94 m

Jawapan

Δz = 17.94 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawapan: Q = 5.516 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam dalam saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n pekali kekasaran, S cerun dasar (m/m) dan R = A/P jejari hidraulik: luas aliran dibahagi perimeter basah. Hanya sempadan yang bersentuhan dengan air dikira dalam P, bukan permukaan bebas. Segi empat tepat: A = b·y, P = b + 2y. Trapezoid dengan cerun sisi z:1 (mengufuk:menegak): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Paip bulat yang mengalir penuh atau separuh penuh mempunyai R = D/4.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (2 + 1.5·1.1)·1.1 = 4.015 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1.1·√(1 + 1.5²) = 5.966 m

R = A/P = 0.673 m

Halaju

V = (1/0.025)·0.673^2/3·0.002^1/2 = 1.374 m/s

Kadar alir

Q = A·V = 4.015·1.374 = 5.516 m³/s

Jawapan

Q = 5.516 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawapan: S = 0.003006 m/m

Jejari hidraulik

R = D/4 = 0.3/4 = 0.075 m

Selesaikan Manning untuk S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.75/0.1778)² = 0.003006

Jawapan

S = 0.003006

Itu ialah penurunan 3.006 m setiap kilometer.

23.Pam & kuasa pam

Jawapan: P_el = 31.86 kW

Kuasa pam: kuasa yang diberikan kepada air ialah kuasa hidraulik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Aci mesti menyalurkan lebih kerana pam kehilangan sebahagian: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor mengambil P_el = P_shaft/η_motor. Turus pam H diperoleh daripada persamaan tenaga: ketinggian statik + turus tekanan + semua kehilangan geseran dan kehilangan kecil.

Kuasa hidraulik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·38 = 22.37 kW

Kuasa aci

P_shaft = 22.37/0.78 = 28.68 kW

Kuasa elektrik

P_el = 28.68/0.9 = 31.86 kW

Jawapan

P_el = 31.86 kW

24.Pam & kuasa pam

Jawapan: H = 38.44 m

Halaju

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

Kehilangan turus

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 5)·0.408 = 22.44 m

Turus pam

Kedua-dua permukaan terbuka dan hampir pegun, jadi sebutan tekanan dan halaju tersingkir.

H = Δz + h_L = 16 + 22.44 = 38.44 m

Jawapan

H = 38.44 m

25.Nilai masa wang

Jawapan: EAR = 21 %

Nilai masa wang: wang hari ini bernilai lebih daripada jumlah yang sama pada masa hadapan, kerana ia boleh memperoleh faedah. Dengan kadar faedah i bagi setiap tempoh, suatu jumlah bertambah sebagai FV = PV·(1 + i)ⁿ. Siri bayaran yang sama (anuiti) dinilai dengan menjumlahkan setiap bayaran, yang memberikan formula anuiti.

Kadar bagi setiap tempoh

r/m = 0.2/2 = 0.1

Majmukkan sepanjang satu tahun

EAR = (1 + 0.1)² − 1 = 1.21 − 1 = 21%

Jawapan

EAR = 21%

EAR sentiasa melebihi kadar nominal apabila faedah dimajmukkan lebih daripada sekali setahun.

26.Nilai masa wang

Jawapan: A = 223.9 €

Kadar bulanan dan bilangan bayaran

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·6 = 72

Bayaran

Nilai kini N bayaran A yang sama ialah A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Samakannya dengan pinjaman dan selesaikan untuk A.

(1 + i)^−N = 0.866

A = 15 000·0.002/(1 − 0.866) = €223.90

Jawapan

A = €223.90

27.NPV & IRR

Jawapan: NPV = 1309 €

Nilai kini bersih: diskaunkan setiap aliran tunai kembali ke hari ini dengan kadar pulangan yang diperlukan r, kemudian jumlahkannya: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projek dengan NPV > 0 memperoleh lebih daripada r dan menambah nilai. Kadar pulangan dalaman (IRR) ialah kadar yang menjadikan NPV = 0.

Nilai kini setiap aliran tunai

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 23 000/1.12 = 20 535.71

CF₂/(1 + 0.12)² = 25 000/1.254 = 19 929.85

CF₃/(1 + 0.12)³ = 20 000/1.405 = 14 235.60

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 34 000/1.574 = 21 607.61

Jumlahkannya

NPV = €1 308.78

Jawapan

NPV = €1 308.78

NPV positif, jadi projek itu memperoleh lebih daripada pulangan yang diperlukan.

28.NPV & IRR

Jawapan: NPV = −1819 €

Nilai kini anuiti bertumbuh

((1.04)/(1.08))⁸ = 0.7394

PV = 12 000/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.7394) = 78 181.42

NPV

NPV = 78 181.42 − 80 000 = −€1 818.58

Jawapan

NPV = −€1 818.58

NPV negatif, jadi projek itu memperoleh kurang daripada pulangan yang diperlukan.

29.Taburan normal

Jawapan: P = 0.3744

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (502 − 500)/40 = 0.05

z₂ = (550 − 500)/40 = 1.25

Luas antara

P = Φ(1.25) − Φ(0.05) = 0.8944 − 0.5199 = 0.3744

Jawapan

P = 0.3744

30.Taburan normal

Jawapan: x = 473 h

z untuk persentil

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

Kembali kepada x

x = 500 + −0.6745·40 = 473.02 h

Jawapan

x = 473.02 h

Ini ialah bahan latihan bebas. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau disokong oleh organisasi yang mengendalikan peperiksaan ini, dan nama peperiksaan hanya digunakan untuk menerangkan kandungannya. FE exam dikendalikan oleh NCEES, yang tidak bergabung dengan ExamProblems dan tidak menyokongnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

Latihan peperiksaan FE Awam: pek ulang kaji kilat

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Kaedah

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah

Daya ricih & momen lentur

Kaedah

Pesongan rasuk

Lengkokan tiang

Sentroid & momen luas kedua

Tegasan berkesan dalam tanah

Enapan pengukuhan

Daya hidrostatik

Geseran paip & kehilangan turus

Aliran saluran terbuka (Manning)

Pam & kuasa pam

Nilai masa wang

Kaedah

NPV & IRR

Kaedah

Taburan normal

Kaedah

2Soalan latihan

3Larutan

Gambar rajah jasad bebas

Keseimbangan

Jawapan

Bahagian CD

Jawapan

Tindak balas penyokong

Sambungan A

Jawapan

Sendi B

Semak dengan kaedah sendi

Jawapan

Tindak balas penyokong

Keratan di bawah P1 dan simpan bahagian kiri

Jawapan

Tindak balas penyokong

Potong pada x = 1.5 m dan simpan bahagian kiri

Jawapan

Unit yang konsisten

Pesongan

Jawapan

Alihkan topang

Keserasian pada topang

Momen pada hujung tetap

Jawapan

Momen luas kedua terkecil

Panjang berkesan

Beban kritikal

Jawapan

Beban kritikal yang diperlukan

Selesaikan untuk diameter

Jawapan

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Sentroid

Teorem paksi selari

Jawapan

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Sentroid

Teorem paksi selari

Tegasan lenturan

Jawapan

Tegasan jumlah

Tekanan air liang

Tegasan berkesan

Jawapan

Tegasan jumlah

Tekanan air liang

Tegasan berkesan

Jawapan

Bandingkan dengan tekanan prapengukuhan

Enapan

Jawapan

Laluan saliran

Skalakan masa

Jawapan

Kedalaman sentroid dan luas

Keratan di bawah P₁ dan simpan bahagian kiri