Latihan peperiksaan FE Elektrik dan Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 40 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Perintang bersiri & selari

Perintang bersiri: R_eq = R₁ + R₂ + …
Perintang selari: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dua secara selari: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Hukum Ohm: V = I·R
Kuasa: P = V·I = I²R = V²/R

Kaedah

Mulakan di hujung rangkaian yang paling jauh daripada terminal.
Gabungkan perintang secara bersiri dengan menambahnya, dan perintang secara selari dengan 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Lukis semula litar selepas setiap langkah.
Ulang sehingga tinggal satu perintang antara terminal.

Analisis nod

Hukum arus Kirchhoff: ΣI_in = ΣI_out
Arus cabang: I = (V_a − V_b)/R
Nod rujukan: V_ground = 0

Kaedah

Pilih nod rujukan (bumi) dan labelkan voltan nod yang lain.
Tulis hukum arus Kirchhoff pada setiap nod yang tidak diketahui: arus yang meninggalkan melalui setiap cabang sama dengan arus yang masuk.
Ungkapkan setiap arus cabang sebagai (V_a − V_b)/R.
Selesaikan sistem persamaan, kemudian cari sebarang arus yang anda perlukan.

Analisis mesh

Hukum voltan Kirchhoff: ΣV = 0 mengelilingi setiap gelung
Perintang yang dikongsi: arus = I₁ − I₂
Sumber arus dalam mesh: menetapkan arus mesh itu

Kaedah

Lukis arus ikut arah jam dalam setiap mesh (tingkap) litar.
Gunakan hukum voltan Kirchhoff mengelilingi setiap mesh: hasil tambah susutan voltan ialah sifar.
Dalam perintang yang dikongsi oleh dua mesh, arusnya ialah beza dua arus mesh.
Selesaikan persamaan; hasil negatif bermaksud arus mengalir ke arah sebaliknya.

Superposisi

Superposisi: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Sumber voltan yang dimatikan: litar pintas (0 V)
Sumber arus yang dimatikan: litar buka (0 A)
Pembahagi voltan: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Pembahagi arus: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Kaedah

Kira sumber bebas. Anda akan menyelesaikan satu litar yang lebih ringkas bagi setiap sumber.
Kekalkan satu sumber dan matikan yang lain: sumber voltan menjadi litar pintas (wayar), sumber arus menjadi litar buka (jurang).
Selesaikan litar yang lebih ringkas itu untuk voltan atau arus yang anda perlukan, dengan menjejaki arahnya.
Ulang untuk setiap sumber, kemudian tambah sumbangan dengan tandanya.

Thévenin & Norton

Voltan Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Rintangan Thévenin: R_th: semua sumber dimatikan, dilihat dari a–b
Arus Norton: I_N = V_th/R_th
Arus beban: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Pemindahan kuasa maksimum: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Kaedah

Keluarkan beban dan tandakan dua terminal a dan b.
Cari voltan litar buka antara a dan b: inilah V_th.
Matikan semua sumber bebas dan cari rintangan yang dilihat dari a–b: inilah R_th.
Pasang semula beban pada litar setara: V_th bersiri dengan R_th.
Untuk setara Norton, tukarkan: I_N = V_th/R_th, dengan R_N = R_th secara selari.

Fana RC & RL

Pemalar masa: τ = RC | τ = L/R
Sambutan: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kapasitor pada AT: litar buka; v_C tidak boleh melompat
Induktor pada AT: litar pintas; i_L tidak boleh melompat
Mantap: t ≈ 5τ

Kaedah

Cari nilai awal sejurus selepas pensuisan: voltan kapasitor dan arus induktor tidak boleh melompat.
Cari nilai akhir lama selepas pensuisan: kapasitor bertindak sebagai litar buka, induktor sebagai litar pintas.
Cari pemalar masa: τ = RC atau τ = L/R, menggunakan rintangan yang dilihat oleh kapasitor atau induktor.
Gunakan x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Impedans AU & fasor

Impedans: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frekuensi sudut: ω = 2πf
Magnitud dan sudut: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Hukum Ohm fasor: V = I·Z

Kaedah

Tukar frekuensi: ω = 2πf.
Cari setiap reaktans: X_L = ωL dan X_C = 1/(ωC).
Tambah impedans seperti perintang, dengan Z = R + jX.
Cari magnitud |Z| = √(R² + X²) dan sudut φ = atan(X/R), kemudian gunakan hukum Ohm dengan fasor.

Kuasa AU & faktor kuasa

Kuasa nyata: P = V·I·cos φ
Kuasa reaktif: Q = V·I·sin φ
Kuasa ketara: S = V·I = √(P² + Q²)
Faktor kuasa: pf = cos φ = P/S
Kapasitor pembetulan: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Kuasa tiga fasa

Sambungan Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Sambungan Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Jumlah kuasa nyata: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Kuasa ketara dan reaktif: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kapasitor pembetulan: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Voltan merentasi setiap kapasitor: Δ: V_L Y: V_L/√3
Masukan motor: P_in = P_out/η

Pengubah

Nisbah belitan: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Nisbah arus: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Arus terlonggok: I = S/V
Impedans terrujuk: Z₁′ = a²·Z_L
Kehilangan kuprum pada beban separa: P_cu = x²·P_cu,fl
Kecekapan: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Kecekapan maksimum: x = √(P_core/P_cu,fl)

Litar op-amp

Penguat menyongsang: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Penguat tak menyongsang: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Penguat penambah: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Op-amp unggul: V₊ = V₋, I_in = 0

Diod & transistor

Diod (susutan malar): V_D = 0.7 V when conducting
Kawasan aktif: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Pincang tetap: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
Pincang pembahagi: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Thévenin bagi pembahagi: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Gelung pengumpul: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Ketepuan: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca

Kestabilan: semua punca polinomial ciri di separuh satah kiri
tatasusunan Routh, entri s¹ bagi kubik: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
Punca separuh satah kanan: bilangan perubahan tanda dalam lajur pertama
Kubik s³ + a₂s² + a₁s + a₀: stabil apabila semua a > 0 dan a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
Persamaan cirian: 1 + K·G(s) = 0
Asimptot: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Titik pemisahan dan penyertaan: dK/ds = 0
Syarat magnitud: K = 1/|G(s)|
Sudut berlepas: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Kaedah

Tulis polinomial ciri gelung tertutup: penyebut 1 + K·G(s) = 0, setelah dikembangkan.
Letakkan pekali secara berselang-seli dalam dua baris pertama tatasusunan Routh dan bina baris yang selebihnya.
Kira perubahan tanda dalam lajur pertama: setiap satu ialah kutub di separuh satah kanan. Dengan K dalam tatasusunan, pastikan setiap entri lajur pertama kekal positif.
Untuk lokus punca, tandakan kutub dan sifar, segmen paksi nyata, asimptot dari sentroid dan titik pemisahan di mana dK/ds = 0. Gunakan K = 1/|G(s)| untuk gandaan pada suatu titik.

Ralat keadaan mantap & kawalan PID

Jenis sistem: bilangan kutub G(s) pada s = 0
Pemalar ralat: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
Langkah A: e_ss = A/(1 + K_p)
Tanjakan A·t: e_ss = A/K_v
Parabola A·t²/2: e_ss = A/K_a
Pengawal PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
Sasaran tertib kedua: s² + 2ζω_ns + ω_n²
Terlajak dan pemasaan: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

Kaedah

Kira kutub gelung terbuka C(s)·G(s) pada s = 0: itulah jenis sistem.
Hitung pemalar ralat yang sepadan dengan input: K_p untuk langkah, K_v untuk tanjakan, K_a untuk parabola.
Gunakan e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v atau A/K_a, atau selesaikannya untuk gandaan yang anda perlukan.
Untuk spesifikasi redaman atau laju, tulis polinomial ciri gelung tertutup dan padankan dengan s² + 2ζω_n·s + ω_n².

2Soalan latihan

1.Perintang bersiri & selariSederhana

Cari arus I_R1 yang dibekalkan oleh sumber, yang mengalir melalui R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

2.Perintang bersiri & selariSukar

Cari arus I_R2 melalui R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 25 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

3.Analisis nodSederhana

Tiga cabang disambungkan antara nod A dengan bumi, seperti yang ditunjukkan. Gunakan analisis nod untuk mencari arus I₂ dalam cabang 2, yang mengalir ke atas masuk ke nod A mengikut arah anak panah.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩV₂ = 9 VR₂ = 12 ΩV₃ = 24 VR₃ = 20 Ω

I₂ = A

4.Analisis nodSukar

Sumber arus dilaraskan sehingga voltan nod pada A ialah V_A = 6 V. Gunakan analisis nod untuk mencari arus sumber I_s (arah seperti yang ditunjukkan).

V₁ = 5 VR₁ = 5 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 25 ΩV_A = 6 V

I_s = A

5.Analisis meshSederhana

Gunakan analisis mesh untuk mencari arus mesh I₁ (ikut arah jam).

V₁ = 9 VV₂ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 Ω

I₁ = A

6.Analisis meshSukar

Gunakan analisis mesh untuk mencari voltan V_R2 merentasi R₂ dengan polariti seperti yang ditunjukkan.

V₁ = 24 VV₂ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 30 Ω

V_R2 = V

7.SuperposisiSederhana

Gunakan superposisi untuk mencari arus I_R3 melalui R₃ mengikut arah anak panah.

V₁ = 24 VI_s = 5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 5 Ω

I_R3 = A

8.SuperposisiSukar

Satu litar perintang linear mengandungi tiga sumber bebas: V₁, V₂ dan I_s. Arus I melalui beban diukur tiga kali. Dengan semua sumber pada nilai biasa, I = −3.5 mA. Dengan V₁ digandakan dan dua yang lain tidak berubah, I = −7 mA. Dengan arah I_s diterbalikkan dan dua yang lain tidak berubah, I = −4.5 mA. Cari arus beban I apabila V₂ dimatikan dan V₁ dan I_s berada pada nilai biasa.

biasa: I = −3.5 mA2·V₁: I = −7 mA−I_s: I = −4.5 mA

I = mA

9.Thévenin & NortonSederhana

Cari arus Norton I_N: arus yang mengalir dari a ke b jika terminal dilitar pintaskan.

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 Ω

I_N = A

10.Thévenin & NortonSukar

Satu beban R_L = 3 Ω disambungkan merentasi a–b. Gantikan bahagian litar yang lain dengan setara Thévenin dan cari arus beban I_L.

V₁ = 30 VI_s = 1 AR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

11.Fana RC & RLSederhana

Sumber Vₛ mengecas kapasitor melalui R₁, dan R₂ disambung selari dengan C. Kapasitor tidak bercas apabila suis ditutup pada t = 0. Cari voltan kapasitor v_C pada t = 20 ms.

V_s = 9 VR₁ = 1 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 68 µFt = 20 ms

v_C = V

12.Fana RC & RLSukar

Sebuah pemasa mula mengecas kapasitor tidak bercas melalui perintang daripada bekalan 5 V pada t = 0. Ia mesti mencetuskan apabila voltan kapasitor mencapai 4 V, tepat 1000 ms selepas permulaan. Dengan C = 100 µF, cari rintangan R yang diperlukan.

V_s = 5 VV_th = 4 VT = 1000 msC = 100 µF

R = kΩ

13.Impedans AU & fasorSederhana

Litar RLC siri dengan C = 2.2 µF mesti bergema pada 1000 Hz. Cari kearuhan L yang diperlukan.

f₀ = 1000 HzC = 2.2 µF

L = mH

14.Impedans AU & fasorSukar

Litar RLC bersiri disambungkan kepada bekalan 100 V (rms), 50 Hz. Cari voltan rms V_C merentasi kapasitor.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 200 mHC = 100 µF

V_C = V

15.Kuasa AU & faktor kuasaSederhana

Beban induktif mengambil 14 A dan 2520 W daripada bekalan fasa tunggal 240 V (rms). Modelkan ia sebagai rintangan R secara siri dengan reaktans X. Cari X.

V = 240 VI = 14 AP = 2520 W

X = Ω

16.Kuasa AU & faktor kuasaSukar

Satu beban fasa tunggal mengambil 30 kW pada faktor kuasa 0.7 ketinggalan daripada bekalan 240 V, 50 Hz. Kapasitor yang disambung secara selari meningkatkan faktor kuasa kepada 0.92. Cari kuasa reaktif Q_C yang mesti dibekalkan oleh kapasitor.

P = 30 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.92V = 240 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

17.Kuasa tiga fasaSederhana

Satu motor aruhan tiga fasa menghasilkan 11 kW kuasa keluaran mekanikal pada beban penuh. Pada beban ini kecekapannya 94% dan faktor kuasanya 0.8 ketinggalan. Bekalan mempunyai voltan antara talian 480 V. Cari arus talian I_L.

P_out = 11 kWη = 94%cos φ = 0.8V_L = 480 V

I_L = A

18.Kuasa tiga fasaSukar

Satu beban tiga fasa seimbang mengambil 300 kW pada faktor kuasa 0.65 ketinggalan daripada bekalan 415 V (antara talian), 60 Hz. Satu bank kapasitor tiga fasa secara selari dengan beban mesti menaikkan faktor kuasa keseluruhan kepada 0.95 ketinggalan. Kuasa nyata kekal sama. Kapasitor disambung secara Y. Cari kapasitans C_ph setiap kapasitor dalam µF.

P = 300 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

19.PengubahSederhana

Satu perintang 10 Ω disambung merentasi lilitan sekunder pengubah unggul dengan nisbah belitan N₁:N₂ = 12:1. Cari rintangan R_1′ yang dilihat dari lilitan primer.

N₁:N₂ = 12:1R_L = 10 Ω

R_1′ = Ω

20.PengubahSukar

Satu pengubah fasa tunggal 150 kVA mempunyai kehilangan teras 600 W dan kehilangan kuprum 1500 W pada beban terkadar. Ia membekalkan 25% daripada kVA terkadarnya pada faktor kuasa 0.95 ketinggalan. Cari jumlah kehilangan P_loss dalam watt pada beban ini.

S = 150 kVAP_core = 600 WP_cu,fl = 1500 Wx = 0.25pf = 0.95

P_loss = W

21.Litar op-ampSederhana

Penguat pembeza menggunakan op-amp unggul dengan bekalan ±15 V, dengan R₃ = R₁ dan R₄ = R₂. Cari voltan V₋ pada masukan menyongsang.

V₁ = 2.2 VV₂ = −1.4 VR₁ = R₃ = 22 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V₋ = V

22.Litar op-ampSukar

Penguat penambah menggunakan op-amp unggul dengan bekalan ±15 V. Cari voltan keluaran V_out.

V₁ = 0.4 VV₂ = 1.1 VR₁ = 47 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

23.Diod & transistorSederhana

2 LED merah (voltan depan 2 V setiap satu) disambung bersiri dengan perintang kepada bekalan 12 V. Cari rintangan R yang menetapkan arus kepada 25 mA.

V_s = 12 VV_F = 2 Vn = 2I = 25 mA

R = Ω

24.Diod & transistorSukar

Pengatur Zener 5.6 V mesti membekalkan sehingga 30 mA kepada beban. Input boleh turun kepada 18 V, dan Zener memerlukan sekurang-kurangnya 1 mA untuk mengatur. Cari rintangan siri terbesar R_max yang mengekalkannya mengatur.

V_in,min = 18 VV_Z = 5.6 VI_L,max = 30 mAI_Z,min = 1 mA

R_max = Ω

25.Sistem nomborSederhana

Corak 8-bit 0110 0100 menyimpan integer bertanda dalam pelengkap dua. Apakah nilainya N dalam perpuluhan?

0110 01008 bit

N =

26.Sistem nomborSukar

Apakah integer paling negatif N yang boleh disimpan dalam pelengkap dua 12-bit?

12 bit

N =

27.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Multipleks 4-ke-1 mempunyai input pilih S₁ = A dan S₀ = B, dan input datanya diikat kepada I₀ = C, I₁ = C, I₂ = 0, I₃ = C′. Bagi berapa daripada 8 gabungan A, B dan C output F = 1? Cari N.

I₀ = CI₁ = CI₂ = 0I₃ = C′

N =

28.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Cari bentuk SOP minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(1, 5, 8, 9, 11) + d(2, 4, 13, 15), dengan d menandakan keadaan tidak peduli. Berapa banyak sebutan hasil darab N yang ada padanya?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 5, 8, 9, 11) + d(2, 4, 13, 15)

N =

29.Transformasi LaplaceSederhana

Cari f(t) bagi F(s) = (3s + 38)/(s² + 2s + 2) dengan melengkapkan kuasa dua, dan nilaikan f(0.8).

F(s) = (3s + 38)/(s² + 2s + 2)t = 0.8 s

f(0.8) =

30.Transformasi LaplaceSukar

Satu sistem mematuhi y″ + 7y′ + 12y = 12·u(t), dengan y(0) = 6 dan y′(0) = 0. Pada t = 0 masukan langkah u(t) = 1 dikenakan. Gunakan transformasi Laplace untuk mencari y(0.2).

y″ + 7y′ + 12y = 12·u(t)y(0) = 6y′(0) = 0u(t) = 1t = 0.2 s

y(0.2) =

31.Gambar rajah blokSederhana

Loji G(s) = K/(s(s + 20)) berada dalam gelung suap balik negatif unit. Cari gandaan K yang menjadikan gelung tertutup redaman genting (dua kutub nyata sama).

G(s) = K/(s(s + 20))suap balik negatif unit

K =

32.Gambar rajah blokSukar

Pengawal berkadar K memacu loji G(s) = 7/(s + 1) dalam gelung suap balik negatif unit. Satu langkah gangguan bersaiz 5 memasuki masukan loji manakala R = 0. Cari gandaan terkecil K yang mengekalkan keluaran keadaan mantap pada atau di bawah 0.7.

G(s) = 7/(s + 1)D = 5c_ss ≤ 0.7

K =

33.Sambutan langkahSederhana

Sesebuah sistem mempunyai fungsi pindah G(s) = 57/(s² + 9s + 57) dan menerima input langkah unit. Cari masa puncak t_p bagi sambutan langkah.

G(s) = 57/(s² + 9s + 57)

t_p = s

34.Sambutan langkahSukar

Gelung suap balik negatif unit mempunyai G(s) = 195/(s(s + 5)). Cari masa pengenapan 2 % t_s bagi sambutan langkah gelung tertutup, menggunakan t_s ≈ 4/(ζωₙ).

G(s) = 195/(s(s + 5))

t_s = s

35.Plot Bode dan marginSederhana

Cari magnitud tepat |G(jω)| bagi G(s) = 576/((s + 6)(s + 16)) pada ω = 4 rad/s, dalam dB.

G(s) = 576/((s + 6)(s + 16))ω = 4 rad/s

|G(jω)| = dB

36.Plot Bode dan marginSukar

Gelung suap balik unit mempunyai fungsi pindah gelung terbuka L(s) = 376/(s(s + 7)(s + 10)). Cari frekuensi lintasan fasa ω₁₈₀, di mana ∠L(jω) = −180°.

L(s) = 376/(s(s + 7)(s + 10))

ω₁₈₀ = rad/s

37.Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus puncaSederhana

Gelung suap balik unit mempunyai L(s) = K(s + 11)/(s(s + 2)(s + 4)), dengan K > 0. Cari gandaan terbesar K_max yang menjadikan gelung tertutup stabil.

L(s) = K(s + 11)/(s(s + 2)(s + 4))

K_max =

38.Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus puncaSukar

Lokus punca bagi L(s) = K/(s(s + 1)(s + 6)) meninggalkan paksi nyata antara s = 0 dan s = −1. Cari titik pemisahan s_b.

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 6))

s_b =

39.Ralat keadaan mantap & kawalan PIDSederhana

Gelung suap balik unit dengan G(s) = K/(s(s + 2)) mesti mengikut tanjakan r(t) = 5t dengan ralat keadaan mantap 0.01. Cari gandaan K.

G(s) = K/(s(s + 2))r(t) = 5te_ss = 0.01

K =

40.Ralat keadaan mantap & kawalan PIDSukar

Pengawal PI C(s) = 2 + 5/s memacu loji G(s) = 5/((s + 1)(s + 4)) dalam gelung suap balik unit. Cari ralat keadaan mantap e_ss untuk input tanjakan r(t) = 1t.

C(s) = 2 + 5/sG(s) = 5/((s + 1)(s + 4))r(t) = 1t

e_ss =

3Larutan

1.Perintang bersiri & selari

Jawapan: I_R1 = 1.935 A

Perintang bersiri dan selari: dalam sambungan bersiri arus yang sama mengalir melalui setiap perintang dan R = R₁ + R₂ + …. Dalam sambungan selari setiap perintang mempunyai voltan yang sama dan 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Rangkaian tangga dipermudahkan sepasang demi sepasang sehingga tinggal satu rintangan setara.

Gabungkan perintang dari hujung yang jauh

Mulakan dari hujung yang paling jauh daripada sumber dan bergerak balik ke arahnya. Perintang yang membawa arus yang sama adalah bersiri; perintang merentasi dua nod yang sama adalah selari.

R₃ + R₄ = 2 + 10 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 3·12/(3+12) = 2.4 Ω

R_eq = R₁ + 2.4 = 10 + 2.4 = 12.4 Ω

Arus daripada sumber

Sumber hanya melihat R_eq, jadi hukum Ohm memberikan arus yang dibekalkannya. Arus itu mengalir melalui R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/12.4 = 1.935 A

Jawapan

I_R1 = 1.935 A

2.Perintang bersiri & selari

Jawapan: I_R2 = 0.2276 A

Gabungkan perintang dari hujung yang jauh

Mulakan dari hujung yang paling jauh daripada sumber dan bergerak balik ke arahnya. Perintang yang membawa arus yang sama adalah bersiri; perintang merentasi dua nod yang sama adalah selari.

R₅ + R₆ = 8 + 10 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 9.474 Ω

R₃ + 9.474 = 29.47 Ω

R₂ ∥ 29.47 = 9.941 Ω

R_eq = R₁ + 9.941 = 25 + 9.941 = 34.94 Ω

Arus daripada sumber

Sumber hanya melihat R_eq, jadi hukum Ohm memberikan arus yang dibekalkannya. Arus itu mengalir melalui R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/34.94 = 0.3434 A

Arus melalui R₂

Tolak susutan merentasi R₁ untuk mendapatkan voltan pada nod A, iaitu voltan merentasi R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0.3434·25 = 3.414 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.414/15 = 0.2276 A

Jawapan

I_R2 = 0.2276 A

3.Analisis nod

Jawapan: I₂ = 0.8696 A

Analisis nod: pilih nod rujukan, labelkan voltan nod yang tidak diketahui, tulis hukum arus Kirchhoff pada setiap nod yang tidak diketahui menggunakan hukum Ohm (I = ΔV/R), dan selesaikan persamaan yang terhasil.

HAK pada nod A

Ambil wayar bawah sebagai bumi. Setiap cabang membawa (V_A − V_k)/R_k menjauhi A, dengan V_k ialah voltan sumbernya (sifar bagi perintang biasa). Arus yang meninggalkan A berjumlah sifar.

(V_A − (−10))/4 + (V_A − 9)/12 + (V_A − 24)/20 = 0

Selesaikan untuk V_A

V_A = ((−10)/4 + 9/12 + 24/20) / (1/4 + 1/12 + 1/20) = −0.55/0.3833 = −1.435 V

Arus cabang

Anak panah menghala ke atas melalui cabang, ke dalam nod A.

I₂ = (9 − V_A)/R₂ = (9 − (−1.435))/12 = 0.8696 A

Jawapan

I₂ = 0.8696 A

Hasil negatif bermaksud arus sebenar mengalir bertentangan dengan anak panah.

4.Analisis nod

Jawapan: I_s = 0.736 A

HAK pada nod A

V_A diketahui, maka persamaan ini memberikan V_B.

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(6 − 5)/5 + 6/30 = (V_B − 6)/6

0.4 = (V_B − 6)/6 → V_B = 8.4 V

HAK pada nod B

Arus yang meninggalkan B melalui perintang sama dengan arus yang ditolak masuk ke B oleh sumber.

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (8.4 − 6)/6 + 8.4/25 = 0.736 A

Jawapan

I_s = 0.736 A

5.Analisis mesh

Jawapan: I₁ = 0.4737 A

Analisis mesh: berikan setiap tingkap bagi litar satah arus gelungnya sendiri, tulis hukum voltan Kirchhoff mengelilingi setiap gelung (hasil tambah susutan = hasil tambah kenaikan), dan selesaikan. Arus cabang ialah arus mesh, atau beza dua arus mesh pada cabang yang dikongsi.

Tetapkan arus mesh

Lukis arus ikut arah jam dalam setiap tingkap: I₁, I₂. Perintang yang dikongsi oleh dua mesh membawa beza arus kedua-duanya.

KVL mengelilingi mesh 1

Mengikut arah jam, susutan voltan merentasi perintang sama dengan kenaikan voltan sumber (− ke + mengikut arah perjalanan).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 9

8·I₁ − 5·I₂ = 9

KVL mengelilingi mesh 2

Mengikut arah jam, susutan voltan merentasi perintang sama dengan kenaikan voltan sumber (− ke + mengikut arah perjalanan).

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

10·I₂ + 5(I₂ − I₁) = (−18)

−5·I₁ + 15·I₂ = −18

Selesaikan

Δ = (8)(15) − (−5)(−5) = 95

I₁ = Δ₁/Δ = 45/95 = 0.4737 A

I₂ = Δ₂/Δ = −99/95 = −1.042 A

Jawapan

I₁ = 0.4737 A

Arus mesh negatif mengalir melawan arah jam.

6.Analisis mesh

Jawapan: V_R2 = 3.081 V

Tetapkan arus mesh

Lukis arus ikut arah jam dalam setiap tingkap: I₁, I₂, I₃. Perintang yang dikongsi oleh dua mesh membawa beza arus kedua-duanya.

KVL mengelilingi mesh 1

Mengikut arah jam, susutan voltan merentasi perintang sama dengan kenaikan voltan sumber (− ke + mengikut arah perjalanan).

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 30(I₁ − I₂) = 24

38·I₁ − 30·I₂ = 24

KVL mengelilingi mesh 2

Mengikut arah jam, susutan voltan merentasi perintang sama dengan kenaikan voltan sumber (− ke + mengikut arah perjalanan).

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

8·I₂ + 30(I₂ − I₁) + 30(I₂ − I₃) = 0

−30·I₁ + 68·I₂ − 30·I₃ = 0

KVL mengelilingi mesh 3

Mengikut arah jam, susutan voltan merentasi perintang sama dengan kenaikan voltan sumber (− ke + mengikut arah perjalanan).

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

25·I₃ + 30(I₃ − I₂) = (−15)

−30·I₂ + 55·I₃ = −15

Selesaikan

Δ = penentu matriks pekali = 58420

I₁ = Δ₁/Δ = 54660/58420 = 0.9356 A

I₂ = Δ₂/Δ = 22500/58420 = 0.3851 A

I₃ = Δ₃/Δ = −3660/58420 = −0.06265 A

Jawapan

I_R2 = I₂ = 0.3851 A

V_R2 = I_R2·R₂ = 0.3851·8 = 3.081 V

Arus mesh negatif mengalir melawan arah jam.

7.Superposisi

Jawapan: I_R3 = 1.9 A

Superposisi: dalam litar linear, sebarang voltan atau arus ialah hasil tambah sambutan terhadap setiap sumber bebas yang bertindak sendirian. Untuk mematikan sumber, gantikan sumber voltan unggul dengan litar pintas dan sumber arus unggul dengan litar buka. Perintang kekal di tempatnya.

Kes 1 · V₁ bertindak sendirian

Iₛ menjadi litar buka, jadi R₃ dan R₄ membentuk satu cabang bersiri dari A ke bumi, selari dengan R₂.

R₃+R₄ = 2+5 = 7 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 4·7/(4+7) = 2.545 Ω

V_A = 24·2.545/(12+2.545) = 4.2 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4.2·5/7 = 3 V

I_R3′ = (V_B − V_A)/R₃ = (3 − 4.2)/2 = −0.6 A

Kes 2 · I_s bertindak sendirian

V₁ menjadi litar pintas, jadi R₁ selari dengan R₂. Iₛ berpecah di B antara R₄ dan laluan melalui R₃.

R₁ ∥ R₂ = 12·4/(12+4) = 3 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 5 ∥ 5 = 2.5 Ω

V_B = I_s·R_eq = 5·2.5 = 12.5 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 12.5·3/5 = 7.5 V

I_R3″ = (V_B − V_A)/R₃ = (12.5 − 7.5)/2 = 2.5 A

Tambah sumbangan

I_R3 = I_R3′ + I_R3″

I_R3 = (−0.6) + 2.5 = 1.9 A

Hasil negatif bermaksud arus mengalir berlawanan dengan anak panah sebenar.

8.Superposisi

Jawapan: I = −3 mA

Tulis pengukuran dengan sumbangan

Setiap sumbangan berkadar dengan sumbernya sendiri.

I₁ + I₂ + I₃ = −3.5

2·I₁ + I₂ + I₃ = −7

I₁ + I₂ − I₃ = −4.5

Selesaikan untuk sumbangan

I₁ = −7 − (−3.5) = −3.5 mA

I₃ = (−3.5 − (−4.5))/2 = 0.5 mA

I₂ = −3.5 − (−3.5) − 0.5 = −0.5 mA

Matikan V₂

I = I₁ + I₃ = (−3.5) + 0.5 = −3 mA

Jawapan

I = −3 mA

9.Thévenin & Norton

Jawapan: I_N = 0.6545 A

Teorem Thévenin: mana-mana rangkaian linear dua terminal berkelakuan seperti satu sumber voltan V_th secara bersiri dengan rintangan R_th. Teorem Norton memberikan rangkaian yang sama sebagai sumber arus I_N = V_th/R_th selari dengan R_th.

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Gantikan sumber voltan dengan litar pintas dan sumber arus dengan litar buka, kemudian lihat ke dalam litar dari a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·6/(10+6) = 3.75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.75 + 10 = 13.75 Ω

Cari V_th, voltan litar buka

Dengan a–b terbuka, tiada arus mengalir melalui R₃, jadi tiada susutan merentasinya dan V_b = V_A. R₁ dan R₂ membentuk pembahagi voltan.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·6/(10+6) = 9 V

Setara Norton

Sumber Norton ialah litar yang sama dilihat sebagai sumber arus selari dengan R_th. Arusnya ialah arus litar pintas pada a–b.

I_N = V_th/R_th = 9/13.75 = 0.6545 A

10.Thévenin & Norton

Jawapan: I_L = 1.46 A

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Gantikan sumber voltan dengan litar pintas dan sumber arus dengan litar buka, kemudian lihat ke dalam litar dari a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·8/(10+8) = 4.444 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.444 + 15 = 19.44 Ω

Cari V_th, voltan litar buka

Dengan a–b terbuka, satu-satunya laluan untuk Iₛ ialah melalui R₃ ke nod A. Cari V_A dengan superposisi V₁ dan Iₛ, kemudian tambah susutan merentasi R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 13.33 + 1·4.444 = 17.78 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 17.78 + 1·15 = 32.78 V

Sambungkan beban kepada setara Thévenin

Sumber Thévenin dan R_th secara bersiri berkelakuan sama seperti litar asal pada a–b, jadi beban melihat satu gelung bersiri yang ringkas.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 32.78/(19.44 + 3) = 1.46 A

11.Fana RC & RL

Jawapan: v_C = 2.199 V

Fana peringkat pertama: dalam litar dengan satu kapasitor atau satu induktor, setiap voltan dan arus bergerak secara eksponen daripada nilai awalnya kepada nilai akhirnya: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, dengan τ = RC atau τ = L/R. Selepas kira-kira 5τ litar telah mantap.

Setara Thévenin yang dilihat kapasitor

Pintaskan sumber untuk mencari R_th; buka kapasitor untuk mencari voltan yang akan dicapainya.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·3.3/(1 + 3.3) = 0.7674 kΩ

v_C(∞) = 9·3.3/(1 + 3.3) = 6.907 V

Pemalar masa

τ = R_th·C = 0.7674·68 = 52.19 ms

Lengkung pengecasan

v_C(t) = 6.907·(1 − e^−20/52.19) = 2.199 V

Jawapan

v_C = 2.199 V

12.Fana RC & RL

Jawapan: R = 6.213 kΩ

Pemalar masa yang diperlukan

4 = 5·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(5/(5 − 4))

τ = 1000/1.609 = 621.3 ms

Rintangan

kΩ darab µF memberikan milisaat.

R = τ/C = 621.3/100 = 6.213 kΩ

Jawapan

R = 6.213 kΩ

13.Impedans AU & fasor

Jawapan: L = 11.51 mH

Litar AU dengan fasor: perintang, induktor dan kapasitor mempunyai impedans R, jωL dan 1/(jωC), dengan ω = 2πf. Dalam sambungan bersiri, impedans ditambah seperti rintangan, tetapi sebagai nombor kompleks. Arus dan voltan rms mengikut hukum Ohm dengan |Z|.

Syarat resonans

Pada resonans reaktans induktif dan kapasitif saling membatalkan: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(6283²·2.2·10⁻⁶) = 11.51 mH

Jawapan

L = 11.51 mH

14.Impedans AU & fasor

Jawapan: V_C = 97.72 V

Reaktans

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.2 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω

Impedans

Dalam sambungan bersiri impedans ditambah sebagai nombor kompleks: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (31)²) = 32.57 Ω

Arus

Arus yang sama mengalir melalui setiap unsur litar bersiri.

I = V/|Z| = 100/32.57 = 3.07 A

Voltan merentasi kapasitor

V_C = I·X_C = 3.07·31.83 = 97.72 V

Jawapan

V_C = 97.72 V

15.Kuasa AU & faktor kuasa

Jawapan: X = 11.34 Ω

Kuasa AU: kuasa ketara S = V·I (VA) terpecah kepada kuasa nyata P = S·cos φ (W), yang melakukan kerja berguna, dan kuasa reaktif Q = S·sin φ (var), yang bergerak ulang-alik antara sumber dan beban. Faktor kuasa ialah cos φ. Kapasitor secara selari membekalkan kuasa reaktif secara setempat, jadi arus talian menurun untuk kuasa nyata yang sama.

Rintangan daripada kuasa nyata

R = P/I² = 2520/14² = 12.86 Ω

Reaktans daripada impedans

|Z| = V/I = 240/14 = 17.14 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(17.14² − 12.86²) = 11.34 Ω

Jawapan

X = 11.34 Ω

16.Kuasa AU & faktor kuasa

Jawapan: Q_C = 17.83 kvar

Kuasa reaktif sebelum dan selepas

Kuasa nyata P tidak berubah; hanya kuasa reaktif yang diambil daripada bekalan berubah.

Q₁ = P·tan φ₁ = 30·tan(45.57°) = 30.61 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 30·tan(23.07°) = 12.78 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 17.83 kvar

Jawapan

Q_C = 17.83 kvar

17.Kuasa tiga fasa

Jawapan: I_L = 17.59 A

Kuasa masukan elektrik

P_in = P_out/η = 11/0.94 = 11.7 kW

Arus talian

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 11702/(√3·480·0.8) = 17.59 A

Jawapan

I_L = 17.59 A

18.Kuasa tiga fasa

Jawapan: C_ph = 3883 µF

Sistem tiga fasa seimbang: dalam sambungan Y (bintang) voltan antara talian ialah √3 kali voltan fasa, V_L = √3·V_ph, dan arus talian sama dengan arus fasa. Dalam sambungan Δ (delta) voltan antara talian sama dengan voltan fasa dan arus talian ialah √3 kali arus fasa, I_L = √3·I_ph. Jumlah kuasa ialah tiga kali kuasa satu fasa: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Pembetulan faktor kuasa: kapasitor membekalkan kuasa reaktif secara setempat, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Setiap satu daripada tiga kapasitor membekalkan Q_C/3 = V²·ω·C, dengan V ialah voltan merentasi kapasitor itu: V_L dalam bank Δ, V_L/√3 dalam bank Y.

Kuasa reaktif sebelum dan selepas

Kuasa nyata tidak berubah, jadi setiap faktor kuasa menentukan kuasa reaktif: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0.65) = 300·1.169 = 350.7 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0.95) = 300·0.3287 = 98.61 kvar

Kuasa reaktif daripada kapasitor

Q_C = Q₁ − Q₂ = 252.1 kvar

Kapasitans setiap fasa

Dalam bank Y setiap kapasitor disambung antara talian dan titik bintang.

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 84045/(377·239.6²) = 3883 µF

Jawapan

C_ph = 3883 µF

19.Pengubah

Jawapan: R_1′ = 1440 Ω

Pengubah unggul: voltan berada dalam nisbah belitan dan arus dalam nisbah songsang: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a dan I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, jadi kuasa masuk sama dengan kuasa keluar, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedans beban Z pada sekunder kelihatan seperti a²·Z dari primer.

Rintangan terrujuk

Voltan naik sebanyak a dan arus turun sebanyak a, jadi nisbah V/I naik sebanyak a².

R_1′ = a²·R_L = 12²·10 = 1440 Ω

Jawapan

R_1′ = 1440 Ω

20.Pengubah

Jawapan: P_loss = 693.8 W

Kehilangan pengubah: kehilangan teras (histeresis dan arus pusar) bergantung pada voltan dan sama pada sebarang beban. Kehilangan kuprum dalam lilitan mengikut kuasa dua arus, jadi pada pecahan x beban terkadar ia ialah x²·P_cu,fl. Kecekapan η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), dengan P_out = x·S·pf. Kecekapan paling tinggi pada beban di mana kehilangan kuprum sama dengan kehilangan teras.

Kehilangan kuprum pada beban ini

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.0625·1500 = 93.75 W

Jumlah kehilangan

Kehilangan teras adalah sama pada sebarang beban.

P_loss = 600 + 93.75 = 693.8 W

Jawapan

P_loss = 693.8 W

Kecekapan pada beban ini ialah η = 98.09%.

21.Litar op-amp

Jawapan: V₋ = −0.4375 V

Peraturan op-amp unggul: dengan suap balik negatif, op-amp memacu keluarannya supaya kedua-dua masukannya berada pada voltan yang sama (V₋ = V₊), dan tiada arus mengalir ke dalam mana-mana masukan. Menulis KCL pada masukan songsang dengan dua fakta ini memberikan keluaran.

Voltan pada masukan

R₃ dan R₄ membawa arus yang sama, maka ia membentuk pembahagi voltan; suapbalik menjadikan V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = −1.4·10/(22 + 10) = −0.4375 V

V₋ = V₊

Jawapan

V₋ = −0.4375 V

22.Litar op-amp

Jawapan: V_out = −5.851 V

Arus masukan

V₋ = 0, jadi setiap perintang masukan mempunyai voltan masukan penuhnya merentasinya.

I₁ = V₁/R₁ = 0.4/47 = 0.008511 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.1/22 = 0.05 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.05851 mA

Voltan keluaran

V_out = −R_f·I_f = −100·0.05851 = −5.851 V

Jawapan

V_out = −5.851 V

23.Diod & transistor

Jawapan: R = 320 Ω

Litar LED dan diod: LED pincang depan menyusutkan kira-kira voltan depannya V_F (kira-kira 2 V untuk merah, 3 V untuk biru atau putih), walau apa pun arusnya. Perintang siri menetapkan arus: R = (V_s − n·V_F)/I untuk n LED bersiri. Dengan model diod yang lebih tepat V = V₀ + I·r_d, titik operasi ialah di mana garis diod bertemu garis beban I = (V_s − V)/R, jadi I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Voltan merentasi perintang

V_R = 12 − 2·2 = 8 V

Rintangan

R = 8/0.025 = 320 Ω

Jawapan

R = 320 Ω

Perintang melesapkan 200 mW.

24.Diod & transistor

Jawapan: R_max = 400 Ω

Pengatur Zener: diod Zener pincang songsang mengekalkan voltannya V_Z selagi arusnya kekal di atas minimum I_Z,min. Perintang siri R menanggung beza antara input dan output: I_R = (V_in − V_Z)/R. Arus itu terbahagi antara beban, I_L = V_Z/R_L, dan Zener: I_Z = I_R − I_L. Reka untuk kes terburuk: input terendah dengan beban terbesar masih mesti meninggalkan I_Z,min, dan input tertinggi tanpa beban memberikan kuasa Zener terbesar P_Z = V_Z·I_Z.

Arus kes terburuk

I_R = 30 + 1 = 31 mA

Rintangan terbesar

R_max = 12.4/0.031 = 400 Ω

Jawapan

R_max = 400 Ω

25.Sistem nombor

Jawapan: N = 100

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Tambah nilai kedudukan

Bit lain mengekalkan nilai positif biasanya.

64 + 32 + 4 = 100

Jawapan

N = 100

26.Sistem nombor

Jawapan: N = −2048

Nilai paling negatif

−2¹¹ = −2048

Jawapan

N = −2048

27.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 3

Multipleks: multipleks 2ⁿ-ke-1 menyalurkan satu input datanya ke output; talian pilih, dibaca sebagai nombor perduaan, menentukan yang mana satu. Untuk MUX 4-ke-1 dengan pilih S₁S₀ = AB, F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Mengikat input data kepada 0, 1, C atau C′ membolehkan MUX menghasilkan sebarang fungsi bagi A, B dan C, yang merupakan cara lazim untuk membina logik dengan satu cip.

Ungkapan output

F = A′B′C + A′BC + ABC′

Baris dengan F = 1

ABC = 001, 011, 110

N = 3

Jawapan

N = 3

28.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 3

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

C′D, AD, A′BC′, AB′C′

Liputan minimum

F = C′D + AD + AB′C′

N = 3

Jawapan

N = 3

29.Transformasi Laplace

Jawapan: f(0.8) = 12.22

Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e^−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Lengkapkan kuasa dua

s² + 2s + 2 = (s + 1)² + 1 = (s + 1)² + 1²

Padankan pengangka

F(s) = 3·(s + 1)/((s + 1)² + 1²) + (35/1)·1/((s + 1)² + 1²)

Transformasi songsang

f(t) = e^−t·(3·cos 1t + 35·sin 1t)

f(0.8) = e^−0.8·(3·cos(1·0.8) + 35·sin(1·0.8)) = 12.22

Jawapan

f(0.8) = 12.22

30.Transformasi Laplace

Jawapan: y(0.2) = 5.236

Transformasikan persamaan

(s² + 7s + 12)·Y(s) = 6s + 42 + 12/s

Y(s) = (6s² + 42s + 12)/(s(s + 3)(s + 4))

Pecahan separa

A = 12/(3·4) = 1

B = −60/((−3)·1) = 20

C = −60/((−4)·(−1)) = −15

Keputusan

y(t) = 1 + 20·e^−3t − 15·e^−4t

y(0.2) = 5.236

Jawapan

y(0.2) = 5.236

Semak: y(0) = A + B + C = 6.

31.Gambar rajah blok

Jawapan: K = 100

Aljabar gambar rajah blok: blok bersiri didarab (G₁·G₂), blok selari ditambah (G₁ + G₂), dan gelung dengan laluan hadapan G dan laluan suap balik H dipermudah kepada T = G/(1 + G·H) bagi suap balik negatif dan G/(1 − G·H) bagi suap balik positif. Permudahkan gelung dalam dahulu, kemudian bergerak ke luar. Kutub gelung tertutup ialah punca persamaan cirian 1 + G(s)H(s) = 0. Bagi gelung yang stabil, masukan langkah bersaiz A memberikan keluaran keadaan mantap A·T(0); dengan suap balik unit, ralat keadaan mantap kepada langkah ialah A/(1 + K_p) dengan K_p = G(0).

Persamaan cirian

1 + K/(s(s + 20)) = 0 → s² + 20s + K = 0

Punca berulang

Kuadratik s² + βs + γ mempunyai punca berganda apabila β² = 4γ.

20² = 4K → K = 400/4 = 100

Jawapan

K = 100

Kedua-dua kutub gelung tertutup kemudian berada pada s = −10.

32.Gambar rajah blok

Jawapan: K = 7

Sambutan gangguan

c_ss = D·G(0)/(1 + K·G(0)) = 5·7/(1 + 7K)

Selesaikan untuk K

1 + 7K = 5·7/0.7 = 50

K = (50 − 1)/7 = 7

Jawapan

K = 7

33.Sambutan langkah

Jawapan: t_p = 0.5182 s

Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jω_d dengan ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, masa puncak t_p = π/ω_d, dan masa pengenapan 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).

Bandingkan dengan bentuk piawai

Penyebut mesti sepadan dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².

ωₙ² = 57 → ωₙ = 7.55 rad/s

2ζωₙ = 9 → ζ = 9/(2·7.55) = 0.596

Keputusan

ω_d = 7.55·√(1 − 0.596²) = 6.062 rad/s → t_p = π/ω_d = 0.5182 s

Jawapan

t_p = 0.5182 s

34.Sambutan langkah

Jawapan: t_s = 1.6 s

Fungsi pindah gelung tertutup

T(s) = 195/(s² + 5s + 195): ωₙ = 13.96 rad/s, ζ = 0.179

Masa pengenapan

ζωₙ = 5/2 = 2.5

t_s ≈ 4/(ζωₙ) = 1.6 s

Jawapan

t_s = 1.6 s

Bagi gelung ini ζωₙ = a/2 walau apa pun K: menaikkan K menambah lajakan tetapi tidak memendekkan masa pengenapan.

35.Plot Bode dan margin

Jawapan: |G(jω)| = 13.7 dB

Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ω_c = 1/(RC) atau R/L, dan f_c = ω_c/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) dan φ = −atan(ω/ω_c). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jω_c). Lintasan fasa ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.

Darabkan magnitud

|G(j4)| = 576/(√(4² + 6²)·√(4² + 16²)) = 576/(7.211·16.49) = 4.843

Keputusan

20·log₁₀(4.843) = 13.7 dB

Jawapan

|G(jω)| = 13.7 dB

36.Plot Bode dan margin

Jawapan: ω₁₈₀ = 8.367 rad/s

Lintasan fasa

(ω/7)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(7·10) = 8.367 rad/s

Jawapan

ω₁₈₀ = 8.367 rad/s

37.Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca

Jawapan: K_max = 9.6

Kriteria Routh–Hurwitz: sistem linear stabil apabila setiap punca polinomial cirinya terletak di separuh kiri satah-s. Tulis pekali secara berselang-seli ke dalam dua baris pertama tatasusunan Routh. Setiap entri baris baharu datang daripada dua baris di atasnya; untuk kubik a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ entri s¹ ialah b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Bilangan perubahan tanda dalam lajur pertama sama dengan bilangan punca di separuh satah kanan. Dengan gandaan K dalam pekali, setiap entri lajur pertama mesti kekal positif: gandaan yang menjadikan entri s¹ sifar ialah had kestabilan, dan baris s² kemudian memberikan frekuensi ayunan berterusan.

Polinomial ciri

s(s + 2)(s + 4) + K(s + 11) = s³ + 6s² + (8 + K)s + 11K

Tatasusunan Routh

s³: 1, 8 + K

s²: 6, 11K

s¹: (6·(8 + K) − 11K)/6

s⁰: 11K

Syarat

48 − 5K > 0

K < 48/5 = 9.6

Jawapan

K_max = 9.6

Dengan sifar di sebelah kanan s = −6, gelung akan kekal stabil untuk setiap K > 0.

38.Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca

Jawapan: s_b = −0.4774

Lokus punca: apabila gandaan K berubah dari 0 ke ∞, kutub gelung tertutup, punca 1 + K·G(s) = 0, bergerak daripada kutub gelung terbuka ke sifar gelung terbuka atau ke infiniti. Titik pada paksi nyata tergolong dalam lokus apabila bilangan kutub dan sifar nyata di sebelah kanannya ialah ganjil. Cabang n − m yang menuju ke infiniti mengikut asimptot pada sudut (2q + 1)·180°/(n − m), yang bermula dari sentroid σₐ = (Σ kutub − Σ sifar)/(n − m). Cabang meninggalkan atau menyertai paksi nyata di mana dK/ds = 0. Syarat sudut ∠G(s) = 180° menentukan bentuk, dan syarat magnitud K = 1/|G(s)| memberikan gandaan pada mana-mana titik lokus.

Gandaan di sepanjang paksi nyata

K(s) = −s(s + 1)(s + 6) = −(s³ + 7s² + 6s)

Titik pegun

dK/ds = −(3s² + 14s + 6) = 0

s = (−14 ± √(196 − 72))/6 = −0.4774, −4.189

Pilih titik pada lokus

Lokus terletak pada paksi nyata antara 0 dan −1; punca yang satu lagi tidak terletak pada lokus.

s_b = −0.4774

Jawapan

s_b = −0.4774

39.Ralat keadaan mantap & kawalan PID

Jawapan: K = 1000

Ralat keadaan mantap: dalam gelung suap balik unit dengan fungsi pindahan gelung terbuka G(s) ralatnya ialah E(s) = R(s)/(1 + G(s)), dan melalui teorem nilai akhir e_ss = lim_s→0 s·E(s). Jenis sistem ialah bilangan kutub G(s) pada s = 0. Pemalar ralat ialah K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) dan K_a = lim s²·G(s), semuanya untuk s → 0. Langkah bersaiz A memberikan e_ss = A/(1 + K_p), tanjakan A·t memberikan A/K_v dan parabola A·t²/2 memberikan A/K_a. Gelung jenis-0 mengikut langkah dengan ralat terhingga, gelung jenis-1 mengikutnya dengan tepat dan tanjakan dengan ralat terhingga.

Pemalar halaju yang diperlukan

K_v = A/e_ss = 5/0.01 = 500

Gandaan

K = 2·K_v = 1000

Jawapan

K = 1000

Gandaan yang besar menjadikan gelung ini sangat kurang teredam: ζ = 0.03162. Konflik itulah sebab pemampas digunakan.

40.Ralat keadaan mantap & kawalan PID

Jawapan: e_ss = 0.16

Kawalan P, PI dan PID: pengawal C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s bertindak ke atas ralat. Gandaan berkadar menjadikan gelung lebih pantas dan mengurangkan ralat loji jenis-0, tetapi tidak pernah menghapuskannya. Sebutan kamiran menambah kutub pada s = 0: jenis sistem meningkat satu, dan langkah diikuti tanpa ralat. Sebutan terbitan menambah redaman. Untuk memilih gandaan, tulis polinomial ciri gelung tertutup dan bandingkannya dengan s² + 2ζω_ns + ω_n². Maka %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d dengan ω_d = ω_n√(1 − ζ²), dan t_s ≈ 4/(ζω_n).

Pemalar halaju

s·C(s) = 2s + 5 → 5 apabila s → 0.

K_v = 5·5/4 = 6.25

Ralat tanjakan

e_ss = 1/6.25 = 0.16

Jawapan

e_ss = 0.16

Pengawal PI menghapuskan ralat langkah sepenuhnya; tanjakan diikuti dengan ketinggalan malar.

Ini ialah bahan latihan bebas. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau disokong oleh organisasi yang mengendalikan peperiksaan ini, dan nama peperiksaan hanya digunakan untuk menerangkan kandungannya. FE exam dikendalikan oleh NCEES, yang tidak bergabung dengan ExamProblems dan tidak menyokongnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical

Latihan peperiksaan FE Elektrik dan Komputer: pek ulang kaji kilat

1Formula dan kaedah

Perintang bersiri & selari

Kaedah

Analisis nod

Kaedah

Analisis mesh

Kaedah

Superposisi

Kaedah

Thévenin & Norton

Kaedah

Fana RC & RL

Kaedah

Impedans AU & fasor

Kaedah

Kuasa AU & faktor kuasa

Kuasa tiga fasa

Pengubah

Litar op-amp

Diod & transistor

Sistem nombor

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Kaedah

Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca

Kaedah

Ralat keadaan mantap & kawalan PID

Kaedah

2Soalan latihan

3Larutan

Gabungkan perintang dari hujung yang jauh

Arus daripada sumber

Jawapan

Gabungkan perintang dari hujung yang jauh

Arus daripada sumber

Arus melalui R₂

Jawapan

HAK pada nod A

Selesaikan untuk VA

Arus cabang

Jawapan

HAK pada nod A

HAK pada nod B

Jawapan

Tetapkan arus mesh

KVL mengelilingi mesh 1

KVL mengelilingi mesh 2

Selesaikan

Jawapan

Tetapkan arus mesh

KVL mengelilingi mesh 1

KVL mengelilingi mesh 2

KVL mengelilingi mesh 3

Selesaikan

Jawapan

Kes 1 · V1 bertindak sendirian

Kes 2 · Is bertindak sendirian

Tambah sumbangan

Tulis pengukuran dengan sumbangan

Selesaikan untuk sumbangan

Matikan V₂

Jawapan

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Cari Vth, voltan litar buka

Setara Norton

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Cari Vth, voltan litar buka

Sambungkan beban kepada setara Thévenin

Setara Thévenin yang dilihat kapasitor

Pemalar masa

Lengkung pengecasan

Jawapan

Pemalar masa yang diperlukan

Rintangan

Jawapan

Syarat resonans

Jawapan

Reaktans

Impedans

Arus

Selesaikan untuk V_A

Kes 1 · V₁ bertindak sendirian

Kes 2 · I_s bertindak sendirian

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Cari V_th, voltan litar buka

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Cari V_th, voltan litar buka