Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 5.5 kW yang berjalan pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 20 gigi dan modul 4 mm. Cari daya tangen F_t pada gigi pinion.

P = 5.5 kWn = 1450 rpmN₁ = 20m = 4 mm

F_t = N

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam alur gear majmuk, gear A (60 gigi) pada aci masukan berputar pada 1500 rpm dan menggerakkan gear B (80 gigi). Gear C (48 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan menggerakkan gear D pada aci keluaran. Keluaran mesti berputar pada 750 rpm. Berapakah bilangan gigi N_D yang mesti dimiliki oleh gear D?

n_in = 1500 rpmA = 60B = 80C = 48n_out = 750 rpm

N_D =

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 500 N·md = 50 mmL = 1.2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 10 kW pada 300 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 10 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −80 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = −80 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 40° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 0 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa). Kedua-duanya sepanjang 600 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 300 kN. Cari pemendekan δ.

P = 300 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 70 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 15 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 15 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 50 mm diikuti 2 kitaran kemudian oleh puncak 23.5 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 50 mmx₂ = 23.5 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 5 kg tergantung pada spring k₃ = 5 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 5 kN/m dan k₂ = 25 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 5 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: F_t = 905.5 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tork pada pinion

ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 5500/151.8 = 36.22 N·m

Diameter pic

d = m·N = 4·20 = 80 mm

Daya tangen

F_t = 2T/d = 2·36.22/0.08 = 905.5 N

Jawapan

F_t = 905.5 N

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N_D = 72

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju aci perantaraan

n_B = n_C = 1500·60/80 = 1125 rpm

Gigi pada gear D

N_D = C·n_C/n_out = 48·1125/750 = 72

Jawapan

N_D = 72

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.7003 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(80000·613592) = 0.01222 rad

φ = 0.01222·180/π = 0.7003°

Jawapan

φ = 0.7003°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 21.97 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·25/362265 = 21.97 MPa

Jawapan

τ_max = 21.97 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 11.18 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((−80 − −70)/2)² + 10²) = 11.18 MPa

Jawapan

τ_max = 11.18 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 37.81 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 10 + −10·0.1736 + 30·0.9848 = 37.81 MPa

Jawapan

σ_θ = 37.81 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.2142 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5890 = 8.404 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 300000·600/8.404 × 10⁸ = 0.2142 mm

Jawapan

δ = 0.2142 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 618.9 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 55.7 MPa

σ₂ = 618.9 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 618.9 MPa

Jawapan

σ_max = 618.9 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 2.879 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/5000² = 2879 N = 2.879 kN

Jawapan

P_cr = 2.879 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 39.44 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·15000 = 37500 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 39.44 mm

Jawapan

d = 39.44 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 253.6, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.05997

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/2)·ln(50/23.5) = 0.3775

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3775/√(39.48 + 0.1425) = 0.05997

Jawapan

ζ = 0.05997

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 4.66 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 5 + 25 = 30 kN/m

k_eq = 30·5/(30 + 5) = 4.286 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(4286/5) = 29.28 rad/s

f_n = 29.28/(2π) = 4.66 Hz

Jawapan

f_n = 4.66 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design