Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 15 kW yang berjalan pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 20 gigi dan modul 3 mm. Cari daya tangen F_t pada gigi pinion.

P = 15 kWn = 960 rpmN₁ = 20m = 3 mm

F_t = N

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam set gear planet, gear suria mempunyai 30 gigi dan setiap gear planet mempunyai 30 gigi. Gear anulus ditahan tetap dan gear suria digerakkan pada 3000 rpm. Cari laju n_c pembawa planet.

N_s = 30N_p = 30n_s = 3000 rpm

n_c = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Aci loyang berongga (diameter luar 60 mm, diameter dalam 42 mm, panjang 1 m) terikat pada satu hujung dan dipiuh oleh tork 400 N·m pada hujung yang satu lagi. Cari sudut kilasan φ dalam darjah.

T = 400 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci loyang pepejal berdiameter 25 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 200 N·m dikenakan pada C, 3 m dari A dan 1.2 m dari B. Cari tork tindak balas T_A pada dinding A.

d = 25 mmT₀ = 200 N·ma = 3 mb = 1.2 m

T_A = N·m

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 90 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = 90 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 400 mm dan ketebalan dinding 10 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 1.5 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 55° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 400 mmt = 10 mmp = 1.5 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar keluli di bawah beban paksi itu.

P = 40 kNd = 10 mmL = 0.5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 90 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 12 mm diikuti 5 kitaran kemudian oleh puncak 6.4 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 12 mmx₅ = 6.4 mmn = 5

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 10 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 40 kN/m dan k₂ = 5 kN/m. Jisim kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 10 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: F_t = 4974 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tork pada pinion

ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T = P/ω = 15000/100.5 = 149.2 N·m

Diameter pic

d = m·N = 3·20 = 60 mm

Daya tangen

F_t = 2T/d = 2·149.2/0.06 = 4974 N

Jawapan

F_t = 4974 N

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_c = 750 rpm

Set gear planet: laju gear suria, anulus dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set itu ialah susunan gear biasa dengan planet sebagai gear perantara. Menahan satu ahli tetap menjadikan set itu pengurang nisbah tunggal.

Gigi gear anulus

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·30 = 90

Persamaan Willis dengan anulus tetap

Tetapkan n_r = 0 dan selesaikan untuk laju pembawa.

(3000 − n_c)/(0 − n_c) = −90/30

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 3000·30/120 = 750 rpm

Jawapan

n_c = 750 rpm

Pembawa berputar dalam arah yang sama dengan gear suria.

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.6078 °

Momen luas kutub kedua

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Sudut piuhan

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1000/(39000·966855) = 0.01061 rad

φ = 0.01061·180/π = 0.6078°

Jawapan

φ = 0.6078°

4.Kilasan aci

Jawapan: T_A = 57.14 N·m

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·1.2/4.2 = 57.14 N·m

T_B = 200·3/4.2 = 142.9 N·m

Jawapan

T_A = 57.14 N·m

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 70 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = 90 MPa, R = √(0² + 50²) = 50 MPa

σ₁ = 140 MPa, σ₂ = 40 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(100, 140, 40)/2 = 70 MPa

Jawapan

τ_abs = 70 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 19.93 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Silinder berdinding nipis: tegasan lingkar σ_h = pr/t dan tegasan paksi σ_a = pr/(2t); inilah tegasan utama dalam dinding.

Tegasan dinding

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 1.5·200/10 = 30 MPa

σ_a = pr/(2t) = 15 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 15·sin²55° + 30·cos²55° = 19.93 MPa

Jawapan

σ_n = 19.93 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.273 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 40·1000/78.54 = 509.3 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 509.3/200000 = 0.002546 = 2546 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.002546·500 mm = 1.273 mm

Jawapan

δ = 1.273 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 7.962 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 183.3 MPa

σ₂ = 447.6 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 183.3·1000/117000 = 1.567 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 447.6·1000/70000 = 6.395 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7.962 mm

Jawapan

δ = 7.962 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 32.9 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·2500 = 2500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/2500² = 32899 N = 32.9 kN

Jawapan

P_cr = 32.9 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 7.896 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7.896 MPa

Jawapan

σ_cr = 7.896 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.02001

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/5)·ln(12/6.4) = 0.1257

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1257/√(39.48 + 0.01581) = 0.02001

Jawapan

ζ = 0.02001

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 10.68 Hz

Kekakuan setara

Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 5 = 45 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(45000/10) = 67.08 rad/s

f_n = 67.08/(2π) = 10.68 Hz

Jawapan

f_n = 10.68 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design