Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 150 mm pada 1450 rpm. Tegangannya ialah 1200 N pada sisi kencang dan 240 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d₁ = 150 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 240 N

P = kW

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam set gear planet, gear suria mempunyai 15 gigi dan setiap gear planet mempunyai 15 gigi. Gear anulus ditahan tetap dan gear suria digerakkan pada 600 rpm. Cari laju n_c pembawa planet.

N_s = 15N_p = 15n_s = 600 rpm

n_c = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 10 mm dipiuh oleh tork 50 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 200 mm berputar 14.96° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 50 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 14.96°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal memindahkan 20 kW pada 300 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 60 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.25° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = −10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 100 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 355 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria von Mises (tenaga herotan).

σ_x = −30 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar aluminium, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 200 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa, tegasan dibenarkan 100 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatiub: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 5 kg pada spring berkekakuan 150 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.5. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 5 kgk = 150 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 25 kg tergantung pada spring k₃ = 100 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 50 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 10.93 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 11.39 m/s

Kuasa

P = (1200 − 240)·11.39 = 10933 W = 10.93 kW

Jawapan

P = 10.93 kW

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_c = 150 rpm

Set gear planet: laju gear suria, anulus dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set itu ialah susunan gear biasa dengan planet sebagai gear perantara. Menahan satu ahli tetap menjadikan set itu pengurang nisbah tunggal.

Gigi gear anulus

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·15 = 45

Persamaan Willis dengan anulus tetap

Tetapkan n_r = 0 dan selesaikan untuk laju pembawa.

(600 − n_c)/(0 − n_c) = −45/15

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 600·15/60 = 150 rpm

Jawapan

n_c = 150 rpm

Pembawa berputar dalam arah yang sama dengan gear suria.

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 39.01 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴

φ = 14.96·π/180 = 0.2611 rad

Modulus ricih

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·200/(981.7·0.2611) = 39011 MPa

G = 39.01 GPa

Jawapan

G = 39.01 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 86.95 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 20000/31.42 = 636.6 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 636.6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·60)) = 37.81 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·26000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 86.95 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(37.81, 86.95) = 86.95 mm

Jawapan

d = 86.95 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 30.41 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = −15 MPa, R = √(5² + (−30)²) = 30.41 MPa

σ₁ = 15.41 MPa, σ₂ = −45.41 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(60.83, 15.41, 45.41)/2 = 30.41 MPa

Jawapan

τ_abs = 30.41 MPa

Di sini σ₁ dan σ₂ mempunyai tanda yang berlawanan, maka maksimum dalam satah R juga ialah maksimum mutlak.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 2.596

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 35 MPa, R = 76.32 MPa

σ₁ = 111.3 MPa, σ₂ = −41.32 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(111.3² − 111.3·(−41.32) + (−41.32)²) = 136.7 MPa

n = 355/136.7 = 2.596

Jawapan

n = 2.596

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 2728 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 60·1000/314.2 = 191 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 191/70000 = 0.002728 = 2728 µε

Jawapan

ε = 2728 µε

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 471.2 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·2199 = 4.712 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.001, 0.001) = 0.001 (loyang)

Beban terbesar

P_max = 0.001·4.712 × 10⁸ = 471239 N = 471.2 kN

Jawapan

P_max = 471.2 kN

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 11.07 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2800² = 11074 N = 11.07 kN

Jawapan

P_cr = 11.07 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 26.99 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12.5 = 160

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26.99 MPa

Jawapan

σ_cr = 26.99 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 23.87 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(150000/5) = 173.2 rad/s

f_n = 173.2/(2π) = 27.57 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 27.57·√(1 − 0.5²) = 23.87 Hz

Jawapan

f_d = 23.87 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 6.318 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 15 + 50 = 65 kN/m

k_eq = 65·100/(65 + 100) = 39.39 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(39394/25) = 39.7 rad/s

f_n = 39.7/(2π) = 6.318 Hz

Jawapan

f_n = 6.318 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design