Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
d1​ = 200 mmd2​ = 450 mm960 rpmT1​ = 1000 NT2​ = 300 NP = ?

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 200 mm pada 960 rpm. Tegangannya ialah 1000 N pada sisi kencang dan 300 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d1 = 200 mmn1 = 960 rpmT1 = 1000 NT2 = 300 N
P = kW
2.Gear & rangkaian gearSukar
d1​ = 125 mmd2​ = 200 mm960 rpmC = 600 mmT1​ = 800 NT2​P = ?

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 125 mm pada 960 rpm kepada takal 200 mm; pusatnya berjarak 600 mm. Pekali geseran ialah 0.35 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 800 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d1 = 125 mmn1 = 960 rpmd2 = 200 mmC = 600 mmμ = 0.35T1 = 800 N
P = kW
3.Kilasan aciSederhana
T = 200 N·md = 25 mmL = 3 mφ = ?

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 25 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
do​ = ?100 kW, 1800 rpm

Aci berongga mesti memindahkan 100 kW pada 1800 rpm. Diameter dalamnya ialah 0.7 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

P = 100 kWN = 1800 rpmdi/do = 0.7τallow = 40 MPa
do = mm
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = −10τxy​ = −40MPa

Satu titik mempunyai σₓ = −10 MPa, σᵧ = 0 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 35° lawan arah jam. Cari tegasan normal σy′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σx = −10 MPaσy = 0 MPaτxy = −40 MPaθ = 35°
σy′ = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = 80σy​ = −60τxy​ = 10MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 80 MPa, σᵧ = −60 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σθ pada satah yang normalnya diputar 35° lawan arah jam dari paksi-x.

σx = 80 MPaσy = −60 MPaτxy = 10 MPaθ = 35°
σθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Ø 10 mmKeluli2.5 mP = 15 kN

Cari terikan paksi ε dalam bar keluli, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Tegasan & terikan paksiSukar
P = ?Ø40110 GPaØ120/50400 mm

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 200 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa, tegasan dibenarkan 70 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar Pmax.

rod: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPatiub: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 2 m25 × 40 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 55 kNL = 2.5 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 55 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 55 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm
11.Getaran mekanikalSederhana
k = 20 kN/mζ = 0.3m = 8 kg

Jisim 8 kg pada spring berkekakuan 20 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.3. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 8 kgk = 20 kN/mζ = 0.3
fd = Hz
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 40k2​ = 30m = 10 kg

Jisim 10 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 40 kN/m dan spring bawah k₂ = 30 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 10 kgk1 = 40 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 7.037 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 10.05 m/s

Kuasa

P = (1000 − 300)·10.05 = 7037 W = 7.037 kW

Jawapan

P = 7.037 kW
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 3.278 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut lilitan

θ = 3.017 rad

Tegangan sisi kendur

eμθ = e1.056 = 2.874, T₂ = 800/2.874 = 278.3 N

Kuasa

P = (800 − 278.3)·6.283 = 3.278 kW

Jawapan

P = 3.278 kW
3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 11.21 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(80000·38350) = 0.1956 rad
φ = 0.1956·180/π = 11.21°

Jawapan

φ = 11.21°
4.Kilasan aci

Jawapan: do = 44.63 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 100000/188.5 = 530.5 N·m

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 530.5 N·m = 530516 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·530516/(π·40·0.7599)) = 44.63 mm
di = 0.7·44.63 = 31.24 mm

Jawapan

do = 44.63 mm

Aci pepejal memerlukan d = 40.73 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σy′ = 34.3 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σy′ = −5 − (−5)·0.342 − (−40)·0.9397 = 34.3 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σx′ = −44.3 MPa, σx′ + σy′ = −10 = σx + σy

Jawapan

σy′ = 34.3 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σθ = 43.34 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi

σθ = 10 + 70·0.342 + 10·0.9397 = 43.34 MPa

Jawapan

σθ = 43.34 MPa
7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 954.9 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 15·1000/78.54 = 191 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 191/200000 = 0.0009549 = 954.9 µε

Jawapan

ε = 954.9 µε
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: Pmax = 814.2 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1.279 × 10⁹ N

Terikan penentu

ε = min(0.001, 0.0006364) = 0.0006364 (gangsa)

Beban terbesar

Pmax = 0.0006364·1.279 × 10⁹ = 814172 N = 814.2 kN

Jawapan

Pmax = 814.2 kN
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 2.249 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/4000² = 2249 N = 2.249 kN

Jawapan

Pcr = 2.249 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 77.18 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2.5·55000 = 137500 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 77.18 mm

Jawapan

d = 77.18 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 259.1, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: fd = 7.591 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ωn = √(20000/8) = 50 rad/s
fn = 50/(2π) = 7.958 Hz

Frekuensi tabii teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 7.958·√(1 − 0.3²) = 7.591 Hz

Jawapan

fd = 7.591 Hz
12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 6.59 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/40 + 1/30 → keq = 40·30/(40 + 30) = 17.14 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(17143/10) = 41.4 rad/s
fn = 41.4/(2π) = 6.59 Hz

Jawapan

fn = 6.59 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design