Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Takal 200 mm pada 2880 rpm memacu takal 400 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 3 %. Cari laju n₂ takal yang dipacu.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 400 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (32 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 1450 rpm memacu gear B (40 gigi). Gear C (16 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (36 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran n_out.

n_in = 1450 rpmA = 32B = 40C = 16D = 36

n_out = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 250 N·md = 30 mmL = 2.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal memindahkan 50 kW pada 750 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 60 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 1° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −80 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = −10 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −40 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 275 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria Tresca (tegasan ricih maksimum).

σ_x = −40 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar loyang, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 40 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 5 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 5 kNn = 2L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 15 mm diikuti 2 kitaran kemudian oleh puncak 8 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 15 mmx₂ = 8 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 100 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 60 kN/m dan k₂ = 40 kN/m. Jisim kekal mendatar. Cari kekakuan setara k_eq sistem spring dalam kN/m.

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n₂ = 1397 rpm

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tanpa gelinciran

2880·200/400 = 1440 rpm

Dengan gelinciran

n₂ = 1440·0.97 = 1397 rpm

Jawapan

n₂ = 1397 rpm

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_out = 515.6 rpm

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Peringkat pertama

n_B = 1450·32/40 = 1160 rpm = n_C

Peringkat kedua

n_out = 1160·16/36 = 515.6 rpm

Jawapan

n_out = 515.6 rpm

nisbah keseluruhan = 2.813 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 5.629 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(80000·79522) = 0.09824 rad

φ = 0.09824·180/π = 5.629°

Jawapan

φ = 5.629°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 61.48 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 636.6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·60)) = 37.81 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·26000·1.745 × 10⁻⁵))^1/4 = 61.48 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(37.81, 61.48) = 61.48 mm

Jawapan

d = 61.48 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 40.7 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = −45 MPa, R = √(35² + (−10)²) = 36.4 MPa

σ₁ = −8.599 MPa, σ₂ = −81.4 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(72.8, 8.599, 81.4)/2 = 40.7 MPa

Jawapan

τ_abs = 40.7 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 2.565

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = −55 MPa, R = 52.2 MPa

σ₁ = −2.798 MPa, σ₂ = −107.2 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 107.2 MPa

n = 275/107.2 = 2.565

Jawapan

n = 2.565

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 1222 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 60·1000/490.9 = 122.2 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 122.2/100000 = 0.001222 = 1222 µε

Jawapan

ε = 1222 µε

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 34.06 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 70000·706.9/200 = 247400 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 40000·247400/411025 = 24076 N

Tegasan

σ₂ = 24076/706.9 = 34.06 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 34.06 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 284.8 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2100² = 284752 N = 284.8 kN

Jawapan

P_cr = 284.8 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 31.04 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·5000 = 10000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 31.04 mm

Jawapan

d = 31.04 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 386.5, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.04996

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/2)·ln(15/8) = 0.3143

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3143/√(39.48 + 0.09879) = 0.04996

Jawapan

ζ = 0.04996

12.Getaran mekanikal

Jawapan: k_eq = 100 kN/m

Kekakuan setara

Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 40 = 100 kN/m

Jawapan

k_eq = 100 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design