Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 125 mm pada 2880 rpm. Tegangannya ialah 1500 N pada sisi kencang dan 600 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 600 N

P = kW

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (15 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 1440 rpm memacu gear B (30 gigi). Gear C (32 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (60 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran n_out.

n_in = 1440 rpmA = 15B = 30C = 32D = 60

n_out = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 500 N·md = 25 mmL = 1.2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 40 mm terikat pada A. Tork 200 N·m bertindak pada B, 1.2 m dari A, dan tork 100 N·m dalam arah yang sama bertindak pada hujung bebas C, 1 m lagi ke hadapan. Cari magnitud sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

d = 40 mmT_B = 200 N·mT_C = 100 N·mAB = 1.2 mBC = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 100 MPa, σᵧ = −10 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 90 MPa, σᵧ = 60 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 45° ikut arah jam dari paksi-x.

σ_x = 90 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar aluminium, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 60 mm, panjang 400 mm, E = 100 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 60 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 45 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 45 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 12 kg pada spring berkekakuan 8 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.45. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 12 kgk = 8 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 25 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 15 kN/m dan spring bawah k₂ = 80 kN/m. Cari kekakuan setara k_eq sistem spring dalam kN/m.

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 16.96 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 18.85 m/s

Kuasa

P = (1500 − 600)·18.85 = 16965 W = 16.96 kW

Jawapan

P = 16.96 kW

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_out = 384 rpm

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Peringkat pertama

n_B = 1440·15/30 = 720 rpm = n_C

Peringkat kedua

n_out = 720·32/60 = 384 rpm

Jawapan

n_out = 384 rpm

nisbah keseluruhan = 3.75 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 11.21 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(80000·38350) = 0.1956 rad

φ = 0.1956·180/π = 11.21°

Jawapan

φ = 11.21°

4.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 1.311 °

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 200 = 300 N·m

Kilasan setiap segmen

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 300000·1200/(80000·251327) = 0.0179 rad

φ_BC = 100000·1000/(80000·251327) = 0.004974 rad

Kilasan hujung C

φ_C = 0.0179 + 0.004974 = 0.02288 rad → |φ_C| = 1.311°

Jawapan

φ_C = 1.311°

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −50.15 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = −10/55.9 = −0.1789, sin 2θ_s = −55/55.9 = −0.9839

2θ_s = atan2(−55, −10) = −100.3°

Sudut pada unsur

θ_s = −50.15°

semakan: θ_s − θ_p = −50.15 − (−5.152) = −45°

Jawapan

θ_s = −50.15°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 125 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 75 + 15·0 + −50·−1 = 125 MPa

Jawapan

σ_θ = 125 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 12631 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 100·1000/113.1 = 884.2 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 884.2/70000 = 0.01263 = 12631 µε

Jawapan

ε = 12631 µε

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 14.51 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 100000·2827/400 = 706858 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 60000·706858/1.034 × 10⁶ = 41013 N

Tegasan

σ₂ = 41013/2827 = 14.51 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 14.51 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 5.118 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/6000² = 5118 N = 5.118 kN

Jawapan

P_cr = 5.118 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 34.71 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 34.71 mm

Jawapan

d = 34.71 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 144.1, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 3.67 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(8000/12) = 25.82 rad/s

f_n = 25.82/(2π) = 4.109 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4.109·√(1 − 0.45²) = 3.67 Hz

Jawapan

f_d = 3.67 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: k_eq = 12.63 kN/m

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/80 → k_eq = 15·80/(15 + 80) = 12.63 kN/m

Jawapan

k_eq = 12.63 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design