Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah cacing dengan 3 permulaan berputar pada 960 rpm dan menggerakkan roda cacing dengan 45 gigi. Cari laju n_w roda itu.

z = 3N_w = 45n = 960 rpm

n_w = rpm

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam alur gear majmuk, gear A (30 gigi) pada aci masukan berputar pada 1440 rpm dan menggerakkan gear B (40 gigi). Gear C (18 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan menggerakkan gear D pada aci keluaran. Keluaran mesti berputar pada 648 rpm. Berapakah bilangan gigi N_D yang mesti dimiliki oleh gear D?

n_in = 1440 rpmA = 30B = 40C = 18n_out = 648 rpm

N_D =

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 400 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 10 kW pada 3000 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 10 kWN = 3000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 30 MPa, σᵧ = 90 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 30° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = 30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 1000 mm dan ketebalan dinding 6 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 3 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 20° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 1000 mmt = 6 mmp = 3 MPaα = 20°

σ_n = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada gangsa (diameter 60 mm, panjang 500 mm, E = 110 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.25 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: gangsa, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 100 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 80 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 20 kg disokong oleh spring berkekakuan 100 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 710 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 20 kgk = 100 kN/mc = 710 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 20 kg tergantung pada spring k₃ = 12 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 50 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_w = 64 rpm

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju roda

n_w = n·z/N_w = 960·3/45 = 64 rpm

Jawapan

n_w = 64 rpm

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N_D = 30

Laju aci perantaraan

n_B = n_C = 1440·30/40 = 1080 rpm

Gigi pada gear D

N_D = C·n_C/n_out = 18·1080/648 = 30

Jawapan

N_D = 30

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 2.394 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(39000·613592) = 0.04179 rad

φ = 0.04179·180/π = 2.394°

Jawapan

φ = 2.394°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 13.93 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 10000/314.2 = 31.83 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·31831/(π·60)) = 13.93 mm

Jawapan

d = 13.93 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = 92.32 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = 60 − (−30)·0.5 − (−20)·0.866 = 92.32 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 27.68 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 120 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = 92.32 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 235.4 MPa

Tegasan dinding

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 3·500/6 = 250 MPa

σ_a = pr/(2t) = 125 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 125·sin²20° + 250·cos²20° = 235.4 MPa

Jawapan

σ_n = 235.4 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 48.6 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·2827) = 1.608 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.25/5.144 × 10⁻⁶ = 48597 N = 48.6 kN

Jawapan

P = 48.6 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 32.44 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 100000·1963/400 = 490874 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 80000·490874/616538 = 63694 N

Tegasan

σ₂ = 63694/1963 = 32.44 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 32.44 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 6.141 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·6000 = 6000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/6000² = 6141 N = 6.141 kN

Jawapan

P_cr = 6.141 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 38.86 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/7.5 = 133.3

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa

Jawapan

σ_cr = 38.86 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.251

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·20) = 2828 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 710/2828 = 0.251

Jawapan

ζ = 0.251

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 3.635 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 30 + 50 = 80 kN/m

k_eq = 80·12/(80 + 12) = 10.43 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(10435/20) = 22.84 rad/s

f_n = 22.84/(2π) = 3.635 Hz

Jawapan

f_n = 3.635 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design