Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 1.1 kW pada 2900 rpm menggerakkan cacing dengan 4 permulaan. Roda cacing mempunyai 60 gigi dan pemacu itu berkecekapan 50%. Cari tork keluaran T_w pada aci roda.

z = 4N_w = 60n = 2900 rpmP = 1.1 kWη = 50%

T_w = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam alur gear majmuk, gear A (36 gigi) pada aci masukan berputar pada 3000 rpm dan menggerakkan gear B (72 gigi). Gear C (15 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan menggerakkan gear D pada aci keluaran. Keluaran mesti berputar pada 500 rpm. Berapakah bilangan gigi N_D yang mesti dimiliki oleh gear D?

n_in = 3000 rpmA = 36B = 72C = 15n_out = 500 rpm

N_D =

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal berdiameter 40 mm terikat pada A. Tork 750 N·m bertindak pada B, 3 m dari A, dan tork 250 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 1.2 m lagi ke hadapan. Cari magnitud sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

d = 40 mmT_B = 750 N·mT_C = 250 N·mAB = 3 mBC = 1.2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 120 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 120 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 1000 mm dan ketebalan dinding 5 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 0.8 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 40° kepada paksi silinder. Cari magnitud tegasan ricih |τ_n| yang bertindak di sepanjang kelim kimpalan.

D = 1000 mmt = 5 mmp = 0.8 MPaα = 40°

|τ_n| = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 95 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 120 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa, tegasan dibenarkan 50 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatiub: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 25 mm diikuti 2 kitaran kemudian oleh puncak 3.7 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 25 mmx₂ = 3.7 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 20 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 80 kN/m dan spring bawah k₂ = 60 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T_w = 27.17 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju roda

n_w = n·z/N_w = 2900·4/60 = 193.3 rpm

Tork keluaran

ω_w = 2π·193.3/60 = 20.25 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.5·1100/20.25 = 27.17 N·m

Jawapan

T_w = 27.17 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N_D = 45

Laju aci perantaraan

n_B = n_C = 3000·36/72 = 1500 rpm

Gigi pada gear D

N_D = C·n_C/n_out = 15·1500/500 = 45

Jawapan

N_D = 45

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 22.99 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(39000·38350) = 0.4012 rad

φ = 0.4012·180/π = 22.99°

Jawapan

φ = 22.99°

4.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 10.52 °

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 750 = −500 N·m

Kilasan setiap segmen

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = −500000·3000/(26000·251327) = −0.2296 rad

φ_BC = 250000·1200/(26000·251327) = 0.04591 rad

Kilasan hujung C

φ_C = −0.2296 + 0.04591 = −0.1836 rad → |φ_C| = 10.52°

Jawapan

φ_C = 10.52°

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = −19.33 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 120 − 20) = −38.66°

Sudut pada unsur

θ_p = −19.33°

Jawapan

θ_p = −19.33°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: |τ_n| = 19.7 MPa

Tegasan dinding

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 0.8·500/5 = 80 MPa

σ_a = pr/(2t) = 40 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

|τ_n| = (80 − 40)·sin 40°·cos 40° = 19.7 MPa

Jawapan

|τ_n| = 19.7 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 8.64 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 95·1000/314.2 = 302.4 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 302.4/70000 = 0.00432 = 4320 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.00432·2000 mm = 8.64 mm

Jawapan

δ = 8.64 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 455.5 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·8482 = 9.111 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.0006, 0.0005) = 0.0005 (loyang)

Beban terbesar

P_max = 0.0005·9.111 × 10⁸ = 455531 N = 455.5 kN

Jawapan

P_max = 455.5 kN

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 3.139 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3.139 kN

Jawapan

P_cr = 3.139 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 25.18 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/5 = 280

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25.18 MPa

Jawapan

σ_cr = 25.18 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.1503

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/2)·ln(25/3.7) = 0.9553

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9553/√(39.48 + 0.9125) = 0.1503

Jawapan

ζ = 0.1503

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 6.59 Hz

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/60 → k_eq = 80·60/(80 + 60) = 34.29 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(34286/20) = 41.4 rad/s

f_n = 41.4/(2π) = 6.59 Hz

Jawapan

f_n = 6.59 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design