Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 2.2 kW yang berputar pada 1440 rpm memacu pinion 18 gigi, yang bertaut dengan gear 24 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 95%. Cari tork T₁ pada aci motor.

P = 2.2 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 18N₂ = 24η = 95%

T₁ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal 160 mm dan takal 300 mm yang pusatnya berjarak 500 mm. Cari sudut lilitan θ pada takal yang lebih kecil, dalam darjah.

d₁ = 160 mmd₂ = 300 mmC = 500 mm

θ = °

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli pepejal 2.5 m panjang membawa tork 1000 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 2°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 1000 N·mL = 2.5 mG = 80 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Aci loyang pepejal berdiameter 30 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 1500 N·m dikenakan pada C, 3 m dari A dan 0.8 m dari B. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 30 mmT₀ = 1500 N·ma = 3 mb = 0.8 m

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 150 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −40 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 20° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = −40 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 60 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.4 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 25 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1.5 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, loyang (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 2 kg disokong oleh spring berkekakuan 2 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 30 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 2 kgk = 2 kN/mc = 30 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 25 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 5 kN/m dan spring bawah k₂ = 12 kN/m. Cari kekakuan setara k_eq sistem spring dalam kN/m.

m = 25 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₁ = 14.59 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/150.8 = 14.59 N·m

Jawapan

T₁ = 14.59 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: θ = 163.9 °

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut tali sawat

asin(0.14) = 8.048°

Sudut lilitan

θ = 180 − 2·8.048 = 163.9°

Jawapan

θ = 163.9°

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 54.95 mm

Momen kutub yang diperlukan

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2.5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·2500/(80000·0.03491) = 895247 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 54.95 mm

Jawapan

d = 54.95 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 223.4 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·0.8/3.8 = 315.8 N·m

T_B = 1500·3/3.8 = 1184 N·m

Tegasan ricih maksimum

Tork yang lebih besar daripada kedua-duanya menentukan (diameter sama).

τ_max = 16·1.184 × 10⁶/(π·30³) = 223.4 MPa

Jawapan

τ_max = 223.4 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −40.63 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 10/65.76 = 0.1521, sin 2θ_s = −65/65.76 = −0.9884

2θ_s = atan2(−65, 10) = −81.25°

Sudut pada unsur

θ_s = −40.63°

semakan: θ_s − θ_p = −40.63 − 4.373 = −45°

Jawapan

θ_s = −40.63°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = 13.34 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −15·0.6428 + 30·0.766 = 13.34 MPa

Jawapan

τ_θ = 13.34 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 126.2 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·2827) = 1.179 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.4/3.168 × 10⁻⁶ = 126248 N = 126.2 kN

Jawapan

P = 126.2 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 221 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 35.37 MPa

σ₂ = 221 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 221 MPa

Jawapan

σ_max = 221 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 14.74 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1250² = 14739 N = 14.74 kN

Jawapan

P_cr = 14.74 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 197.4 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

Jawapan

σ_cr = 197.4 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.2372

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(2000·2) = 126.5 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 30/126.5 = 0.2372

Jawapan

ζ = 0.2372

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: k_eq = 3.529 kN/m

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/12 → k_eq = 5·12/(5 + 12) = 3.529 kN/m

Jawapan

k_eq = 3.529 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design