Gear & rangkaian gear
- Gear bergigi bertaut
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Kuasa
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian gear gubahan
- nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat
Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kilasan aci
- Tegasan ricih
- τ = T·r/J
- Aci pejal
- J = πd⁴/32
- Aci berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut piuhan
- φ = TL/(GJ)
- Kuasa
- P = T·ω = 2πnT/60
Kaedah
- Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
- Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
- Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Bulatan Mohr & transformasi tegasan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jejari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegasan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Satah condong
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Kaedah
- Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
- Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegasan & terikan paksi
- Tegasan normal
- σ = F/A
- Terikan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pemanjangan
- ΔL = FL/(EA)
- Terikan terma
- εT = α·ΔT
Lengkokan tiang
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang berkesan
- K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
- Tegasan kritikal
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanikal
- Frekuensi tabii
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Daripada pesongan statik
- ωn = √(g/δst)
- Redaman genting
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Nisbah redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Penyusutan logaritma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Spring secara selari
- k = k1 + k2
- Spring secara bersiri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soalan latihan
1.Gear & rangkaian gearSederhana
Tali sawat berjalan pada takal pemacu 100 mm pada 960 rpm. Tegangannya ialah 400 N pada sisi kencang dan 200 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.
d1 = 100 mmn1 = 960 rpmT1 = 400 NT2 = 200 N
P = kW
2.Gear & rangkaian gearSukar
Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (32 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 1450 rpm memacu gear B (40 gigi). Gear C (32 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (72 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran nout.
nin = 1450 rpmA = 32B = 40C = 32D = 72
nout = rpm
3.Kilasan aciSederhana
Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.
T = 500 N·md = 25 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
Satu aci berongga menghantar 50 kW pada 1000 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τmax dalam aci itu.
P = 50 kWN = 1000 rpmdo = 60 mmdi = 48 mm
τmax = MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
Satu titik mempunyai σₓ = −30 MPa, σᵧ = 90 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 30° ikut arah jam. Cari tegasan normal σy′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.
σx = −30 MPaσy = 90 MPaτxy = −10 MPaθ = -30°
σy′ = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 120 MPa, σᵧ = 40 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σθ pada satah yang normalnya diputar 35° lawan arah jam dari paksi-x.
σx = 120 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPaθ = 35°
σθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Cari terikan paksi ε dalam bar kuprum, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).
P = 40 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.Tegasan & terikan paksiSukar
Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.
P = 15 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)
δ = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.
L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 55 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.
P = 55 kNn = 2.5L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Getaran mekanikalSederhana
Jisim 5 kg pada spring berkekakuan 50 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.5. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.
m = 5 kgk = 50 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.Getaran mekanikalSukar
Jisim 100 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 50 kN/m. Jisim kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.
m = 100 kgk1 = 100 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Gear & rangkaian gear
Jawapan: P = 1.005 kW
Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.
Laju tali sawat
v = 5.027 m/s
Kuasa
P = (400 − 200)·5.027 = 1005 W = 1.005 kW
Jawapan
P = 1.005 kW
2.Gear & rangkaian gear
Jawapan: nout = 515.6 rpm
Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Peringkat pertama
nB = 1450·32/40 = 1160 rpm = nC
Peringkat kedua
nout = 1160·32/72 = 515.6 rpm
Jawapan
nout = 515.6 rpm
nisbah keseluruhan = 2.813 : 1
3.Kilasan aci
Jawapan: φ = 14.01 °
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Momen luas kutub kedua
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(80000·38350) = 0.2445 rad
φ = 0.2445·180/π = 14.01°
Jawapan
φ = 14.01°
4.Kilasan aci
Jawapan: τmax = 19.07 MPa
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m
Momen luas kutub kedua
J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴
Tegasan ricih maksimum
τmax = T·(do/2)/J = 477465·30/751193 = 19.07 MPa
Jawapan
τmax = 19.07 MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: σy′ = 51.34 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Persamaan transformasi bagi muka y′
σy′ = 30 − (−60)·0.5 − (−10)·(−0.866) = 51.34 MPa
Semakan
Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.
σx′ = 8.66 MPa, σx′ + σy′ = 60 = σx + σy
Jawapan
σy′ = 51.34 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: σθ = 121.9 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Persamaan transformasi
σθ = 80 + 40·0.342 + 30·0.9397 = 121.9 MPa
Jawapan
σθ = 121.9 MPa
7.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: ε = 1088 µε
Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).
Tegasan
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 40·1000/314.2 = 127.3 MPa
Terikan (hukum Hooke)
E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 127.3/117000 = 0.001088 = 1088 µε
Jawapan
ε = 1088 µε
8.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: δ = 1.919 mm
Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.
Daya yang sama dalam kedua-dua segmen
Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 30.56 MPa
σ2 = 132.6 MPa
Tambah pemanjangan segmen
δ1 = σ1L1/E1 = 30.56·500/70000 = 0.2183 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 132.6·1500/117000 = 1.7 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.919 mm
Jawapan
δ = 1.919 mm
9.Lengkokan tiang
Jawapan: Pcr = 635 kN
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
Panjang berkesan
KL = 1·2500 = 2500 mm
Beban kritikal
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2500² = 635009 N = 635 kN
Jawapan
Pcr = 635 kN
10.Lengkokan tiang
Jawapan: d = 63.46 mm
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Beban kritikal yang diperlukan
Pcr = n·P = 2.5·55000 = 137500 N
KL = 2·1000 = 2000 mm
Selesaikan untuk diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 63.46 mm
Jawapan
d = 63.46 mm
Semak: kelangsingan KL/r ialah 126.1, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.
11.Getaran mekanikal
Jawapan: fd = 13.78 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frekuensi tabii tanpa redaman
ωn = √(50000/5) = 100 rad/s
fn = 100/(2π) = 15.92 Hz
Frekuensi tabii teredam
fd = fn·√(1 − ζ²) = 15.92·√(1 − 0.5²) = 13.78 Hz
Jawapan
fd = 13.78 Hz
12.Getaran mekanikal
Jawapan: fn = 6.164 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan setara
Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k1 + k2.
keq = 100 + 50 = 150 kN/m
Frekuensi tabii
ωn = √(150000/100) = 38.73 rad/s
fn = 38.73/(2π) = 6.164 Hz
Jawapan
fn = 6.164 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design