Gear & rangkaian gear
- Gear bergigi bertaut
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Kuasa
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian gear gubahan
- nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat
Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kilasan aci
- Tegasan ricih
- τ = T·r/J
- Aci pejal
- J = πd⁴/32
- Aci berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut piuhan
- φ = TL/(GJ)
- Kuasa
- P = T·ω = 2πnT/60
Kaedah
- Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
- Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
- Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Bulatan Mohr & transformasi tegasan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jejari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegasan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Satah condong
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Kaedah
- Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
- Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegasan & terikan paksi
- Tegasan normal
- σ = F/A
- Terikan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pemanjangan
- ΔL = FL/(EA)
- Terikan terma
- εT = α·ΔT
Lengkokan tiang
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang berkesan
- K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
- Tegasan kritikal
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanikal
- Frekuensi tabii
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Daripada pesongan statik
- ωn = √(g/δst)
- Redaman genting
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Nisbah redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Penyusutan logaritma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Spring secara selari
- k = k1 + k2
- Spring secara bersiri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soalan latihan
1.Gear & rangkaian gearSederhana
Sebuah motor 2.2 kW yang berputar pada 1450 rpm memacu pinion 50 gigi, yang bertaut dengan gear 60 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 96%. Cari tork T1 pada aci motor.
P = 2.2 kWn1 = 1450 rpmN1 = 50N2 = 60η = 96%
T1 = N·m
2.Gear & rangkaian gearSukar
Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (30 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 3000 rpm memacu gear B (60 gigi). Gear C (16 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (50 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran nout.
nin = 3000 rpmA = 30B = 60C = 16D = 50
nout = rpm
3.Kilasan aciSederhana
Aci keluli berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 30 mm, panjang 3 m) terikat pada satu hujung dan dipiuh oleh tork 100 N·m pada hujung yang satu lagi. Cari sudut kilasan φ dalam darjah.
T = 100 N·mdo = 50 mmdi = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
Satu aci berongga menghantar 5 kW pada 1800 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τmax dalam aci itu.
P = 5 kWN = 1800 rpmdo = 40 mmdi = 32 mm
τmax = MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 110 MPa, σᵧ = 0 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari sudut θp dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.
σx = 110 MPaσy = 0 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 120 MPa, σᵧ = 70 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σθ pada satah yang normalnya diputar 35° lawan arah jam dari paksi-x.
σx = 120 MPaσy = 70 MPaτxy = 30 MPaθ = 35°
σθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Cari terikan paksi ε dalam bar loyang, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).
P = 25 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Tegasan & terikan paksiSukar
Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.
P = 10 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0.5 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)
δ = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.
L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.
L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 50 mm diikuti 5 kitaran kemudian oleh puncak 7.6 mm. Cari nisbah redaman ζ.
x0 = 50 mmx5 = 7.6 mmn = 5
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
Jisim 20 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 60 kN/m dan spring bawah k₂ = 80 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.
m = 20 kgk1 = 60 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Gear & rangkaian gear
Jawapan: T1 = 14.49 N·m
Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Tork motor
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/151.8 = 14.49 N·m
Jawapan
T1 = 14.49 N·m
2.Gear & rangkaian gear
Jawapan: nout = 480 rpm
Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Peringkat pertama
nB = 3000·30/60 = 1500 rpm = nC
Peringkat kedua
nout = 1500·16/50 = 480 rpm
Jawapan
nout = 480 rpm
nisbah keseluruhan = 6.25 : 1
3.Kilasan aci
Jawapan: φ = 0.4023 °
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Momen luas kutub kedua
J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴
Sudut piuhan
T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 100000·3000/(80000·534071) = 0.007022 rad
φ = 0.007022·180/π = 0.4023°
Jawapan
φ = 0.4023°
4.Kilasan aci
Jawapan: τmax = 3.575 MPa
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 5000/188.5 = 26.53 N·m
Momen luas kutub kedua
J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴
Tegasan ricih maksimum
τmax = T·(do/2)/J = 26526·20/148384 = 3.575 MPa
Jawapan
τmax = 3.575 MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: θp = 9.992 °
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan
Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.
2θp = atan2(2·20, 110 − 0) = 19.98°
Sudut pada unsur
θp = 9.992°
Jawapan
θp = 9.992°
Sudut positif ialah lawan arah jam.
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: σθ = 131.7 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Persamaan transformasi
σθ = 95 + 25·0.342 + 30·0.9397 = 131.7 MPa
Jawapan
σθ = 131.7 MPa
7.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: ε = 795.8 µε
Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).
Tegasan
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 25·1000/314.2 = 79.58 MPa
Terikan (hukum Hooke)
E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 79.58/100000 = 0.0007958 = 795.8 µε
Jawapan
ε = 795.8 µε
8.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: δ = 1.334 mm
Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.
Daya yang sama dalam kedua-dua segmen
Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 14.15 MPa
σ2 = 88.42 MPa
Tambah pemanjangan segmen
δ1 = σ1L1/E1 = 14.15·500/100000 = 0.07074 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 88.42·1000/70000 = 1.263 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.334 mm
Jawapan
δ = 1.334 mm
9.Lengkokan tiang
Jawapan: Pcr = 25.63 kN
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Panjang berkesan
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
Beban kritikal
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1750² = 25628 N = 25.63 kN
Jawapan
Pcr = 25.63 kN
10.Lengkokan tiang
Jawapan: σcr = 11.99 MPa
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
Jejari legaran dan kelangsingan
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/12.5 = 240
Tegasan kritikal
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11.99 MPa
Jawapan
σcr = 11.99 MPa
11.Getaran mekanikal
Jawapan: ζ = 0.05986
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Penyusutan logaritma
δ = (1/5)·ln(50/7.6) = 0.3768
Nisbah redaman
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3768/√(39.48 + 0.142) = 0.05986
Jawapan
ζ = 0.05986
12.Getaran mekanikal
Jawapan: fn = 6.59 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan setara
Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/60 + 1/80 → keq = 60·80/(60 + 80) = 34.29 kN/m
Frekuensi tabii
ωn = √(34286/20) = 41.4 rad/s
fn = 41.4/(2π) = 6.59 Hz
Jawapan
fn = 6.59 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design