Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Dua aci selari berjarak 160 mm. Kedua-duanya mesti disambung dengan sepasang gear taji bermodul 4 mm dan pengurangan laju 3 : 1. Berapakah bilangan gigi N₁ yang mesti dimiliki oleh pinion?

a = 160 mmm = 4 mmi = 3

N₁ =

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal 100 mm dan takal 250 mm yang pusatnya berjarak 600 mm. Cari sudut lilitan θ pada takal yang lebih kecil, dalam darjah.

d₁ = 100 mmd₂ = 250 mmC = 600 mm

θ = °

3.Kilasan aciSederhana

Aci aluminium pepejal berperingkat terikat pada A. Segmen AB berdiameter 60 mm dan panjang 2 m; segmen BC berdiameter 50 mm dan panjang 3 m. Tork 250 N·m bertindak pada hujung bebas C. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

T = 250 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 2 md₂ = 50 mm, L₂ = 3 m

τ_max = MPa

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 75 kW pada 1500 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 75 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 100 MPa, σᵧ = 60 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 10 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 50° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar keluli, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 100 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 20 mm diikuti satu kitaran kemudian oleh puncak 14.6 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 20 mmx₁ = 14.6 mmn = 1

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 20 kg tergantung pada spring k₃ = 60 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 30 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N₁ = 20

Geometri gear: modul m menentukan saiz gigi. Gear dengan N gigi mempunyai diameter pic d = m·N, dua gear yang bersalingan mempunyai modul yang sama, dan jarak pusatnya ialah a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Laju garis pic ialah v = π·d·n/60, dan daya tangen gigi diperoleh daripada tork: F_t = 2T/d.

Jumlah bilangan gigi

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·160/4 = 80

Bahagikan mengikut nisbah

N₁ = 80/(1 + 3) = 20

Jawapan

N₁ = 20

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: θ = 165.6 °

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut tali sawat

asin(0.125) = 7.181°

Sudut lilitan

θ = 180 − 2·7.181 = 165.6°

Jawapan

θ = 165.6°

3.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 10.19 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tegasan dalam setiap segmen

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·60³) = 5.895 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·50³) = 10.19 MPa

Jawapan

τ_max = 10.19 MPa

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 34.35 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 75000/157.1 = 477.5 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·60)) = 34.35 mm

Jawapan

d = 34.35 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −16.85 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 30/36.06 = 0.8321, sin 2θ_s = −20/36.06 = −0.5547

2θ_s = atan2(−20, 30) = −33.69°

Sudut pada unsur

θ_s = −16.85°

semakan: θ_s − θ_p = −16.85 − 28.15 = −45°

Jawapan

θ_s = −16.85°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −56.85 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −5 + 15·−0.1736 + −50·0.9848 = −56.85 MPa

Jawapan

σ_θ = −56.85 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 305.6 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 30·1000/490.9 = 61.12 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 61.12/200000 = 0.0003056 = 305.6 µε

Jawapan

ε = 305.6 µε

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 44.2 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 70000·1963/200 = 687223 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 100000·687223/791943 = 86777 N

Tegasan

σ₂ = 86777/1963 = 44.2 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 44.2 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 2.481 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2.481 kN

Jawapan

P_cr = 2.481 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 126.3 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126.3 MPa

Jawapan

σ_cr = 126.3 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.05003

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/1)·ln(20/14.6) = 0.3147

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3147/√(39.48 + 0.09904) = 0.05003

Jawapan

ζ = 0.05003

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 5.594 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 12 + 30 = 42 kN/m

k_eq = 42·60/(42 + 60) = 24.71 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(24706/20) = 35.15 rad/s

f_n = 35.15/(2π) = 5.594 Hz

Jawapan

f_n = 5.594 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design