Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 15 kW yang berputar pada 960 rpm memacu pinion 12 gigi, yang bertaut dengan gear 40 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 98%. Cari tork keluaran T₂ pada aci gear.

P = 15 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 12N₂ = 40η = 98%

T₂ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal 120 mm dan takal 315 mm yang pusatnya berjarak 500 mm. Cari sudut lilitan θ pada takal yang lebih kecil, dalam darjah.

d₁ = 120 mmd₂ = 315 mmC = 500 mm

θ = °

3.Kilasan aciSederhana

Aci aluminium pepejal berperingkat terikat pada A. Segmen AB berdiameter 30 mm dan panjang 0.5 m; segmen BC berdiameter 25 mm dan panjang 0.5 m. Tork 500 N·m bertindak pada hujung bebas C. Cari sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

T = 500 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 0.5 md₂ = 25 mm, L₂ = 0.5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Kilasan aciSukar

Aci loyang pepejal memindahkan 50 kW pada 1500 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 50 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.75° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 50 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0.75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 140 MPa, σᵧ = 50 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 140 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = 80 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPa

σ_vM = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 40 mm, panjang 200 mm, E = 120 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.3 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 95 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, keluli (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 50 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 50 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 10 mm diikuti 2 kitaran kemudian oleh puncak 6.9 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 10 mmx₂ = 6.9 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 50 kg tergantung pada spring k₃ = 60 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 80 kN/m dan k₂ = 40 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₂ = 487.4 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/100.5 = 149.2 N·m

Tork keluaran

T₂ = 149.2·40/12·0.98 = 487.4 N·m

Jawapan

T₂ = 487.4 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: θ = 157.5 °

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut tali sawat

asin(0.195) = 11.24°

Sudut lilitan

θ = 180 − 2·11.24 = 157.5°

Jawapan

θ = 157.5°

3.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 21.29 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kilasan setiap segmen

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 500000·500/(26000·79522) = 0.1209 rad

φ_BC = 500000·500/(26000·38350) = 0.2507 rad

Jumlah kilasan

φ_C = 0.1209 + 0.2507 = 0.3716 rad = 21.29°

Jawapan

φ_C = 21.29°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 50.2 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 50000/157.1 = 318.3 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 318.3 N·m = 318310 N·mm

d_τ = ∛(16·318310/(π·50)) = 31.89 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·318310/(π·39000·1.309 × 10⁻⁵))^1/4 = 50.2 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(31.89, 50.2) = 50.2 mm

Jawapan

d = 50.2 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 24.01 °

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 140 − 50) = 48.01°

Sudut pada unsur

θ_p = 24.01°

Jawapan

θ_p = 24.01°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 148.3 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 100 MPa, R = 63.25 MPa

σ₁ = 163.2 MPa, σ₂ = 36.75 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(163.2² − 163.2·36.75 + 36.75²) = 148.3 MPa

Jawapan

σ_vM = 148.3 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 40.33 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1257) = 1.326 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.3/7.438 × 10⁻⁶ = 40334 N = 40.33 kN

Jawapan

P = 40.33 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 302.4 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 193.5 MPa

σ₂ = 302.4 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 302.4 MPa

Jawapan

σ_max = 302.4 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 16.82 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·6000 = 6000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/6000² = 16822 N = 16.82 kN

Jawapan

P_cr = 16.82 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 63.5 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·50000 = 125000 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 63.5 mm

Jawapan

d = 63.5 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 132.3, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.02952

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/2)·ln(10/6.9) = 0.1855

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1855/√(39.48 + 0.03442) = 0.02952

Jawapan

ζ = 0.02952

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 4.502 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 80 + 40 = 120 kN/m

k_eq = 120·60/(120 + 60) = 40 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(40000/50) = 28.28 rad/s

f_n = 28.28/(2π) = 4.502 Hz

Jawapan

f_n = 4.502 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design