Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 150 mm pada 1440 rpm. Tegangannya ialah 1500 N pada sisi kencang dan 600 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 600 N

P = kW

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (12 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 3000 rpm memacu gear B (20 gigi). Gear C (40 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (45 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran n_out.

n_in = 3000 rpmA = 12B = 20C = 40D = 45

n_out = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 15 mm dipiuh oleh tork 75 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 400 mm berputar 13.3° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 75 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 13.3°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 20 kW pada 1800 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 80 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 20 MPa, σᵧ = 100 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 25° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar kuprum, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 30 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 105 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, kuprum (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 12 mm diikuti 5 kitaran kemudian oleh puncak 2.5 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 12 mmx₅ = 2.5 mmn = 5

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 50 kg tergantung pada spring k₃ = 30 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 30 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 10.18 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 11.31 m/s

Kuasa

P = (1500 − 600)·11.31 = 10179 W = 10.18 kW

Jawapan

P = 10.18 kW

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_out = 1600 rpm

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Peringkat pertama

n_B = 3000·12/20 = 1800 rpm = n_C

Peringkat kedua

n_out = 1800·40/45 = 1600 rpm

Jawapan

n_out = 1600 rpm

nisbah keseluruhan = 1.875 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 26 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 13.3·π/180 = 0.2321 rad

Modulus ricih

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·400/(4970·0.2321) = 26003 MPa

G = 26 GPa

Jawapan

G = 26 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 23.82 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 20000/188.5 = 106.1 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·40)) = 23.82 mm

Jawapan

d = 23.82 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −64.33 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = −60/96.05 = −0.6247, sin 2θ_s = −75/96.05 = −0.7809

2θ_s = atan2(−75, −60) = −128.7°

Sudut pada unsur

θ_s = −64.33°

semakan: θ_s − θ_p = −64.33 − (−19.33) = −45°

Jawapan

θ_s = −64.33°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = −7.925 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−40·0.766 + −60·0.6428 = −7.925 MPa

Jawapan

τ_θ = −7.925 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 1451 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 120·1000/706.9 = 169.8 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 169.8/117000 = 0.001451 = 1451 µε

Jawapan

ε = 1451 µε

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 928.4 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 213.9 MPa

σ₂ = 928.4 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 928.4 MPa

Jawapan

σ_max = 928.4 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 13.89 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·5000 = 10000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/10000² = 13891 N = 13.89 kN

Jawapan

P_cr = 13.89 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 49.35 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

Jawapan

σ_cr = 49.35 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.04987

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/5)·ln(12/2.5) = 0.3137

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3137/√(39.48 + 0.09842) = 0.04987

Jawapan

ζ = 0.04987

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 3.514 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 100 + 30 = 130 kN/m

k_eq = 130·30/(130 + 30) = 24.38 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(24375/50) = 22.08 rad/s

f_n = 22.08/(2π) = 3.514 Hz

Jawapan

f_n = 3.514 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design