Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Dua aci selari berjarak 48 mm. Kedua-duanya mesti disambung dengan sepasang gear taji bermodul 2 mm dan pengurangan laju 2 : 1. Berapakah bilangan gigi N₁ yang mesti dimiliki oleh pinion?

a = 48 mmm = 2 mmi = 2

N₁ =

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam alur gear majmuk, gear A (32 gigi) pada aci masukan berputar pada 960 rpm dan menggerakkan gear B (80 gigi). Gear C (36 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan menggerakkan gear D pada aci keluaran. Keluaran mesti berputar pada 288 rpm. Berapakah bilangan gigi N_D yang mesti dimiliki oleh gear D?

n_in = 960 rpmA = 32B = 80C = 36n_out = 288 rpm

N_D =

3.Kilasan aciSederhana

Aci loyang pepejal berperingkat terikat pada A. Segmen AB berdiameter 60 mm dan panjang 0.8 m; segmen BC berdiameter 40 mm dan panjang 0.8 m. Tork 400 N·m bertindak pada hujung bebas C. Cari sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

T = 400 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0.8 md₂ = 40 mm, L₂ = 0.8 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 50 kW pada 1000 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 50 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 40 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 20 mm membawa daya tegangan paksi 140 kN bersama-sama dengan tork 200 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

d = 20 mmF = 140 kNT = 200 N·m

τ_max = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa). Kedua-duanya sepanjang 300 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 160 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa, tegasan dibenarkan 100 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatiub: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 25 kg pada spring berkekakuan 200 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.35. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 25 kgk = 200 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 100 kg tergantung pada spring k₃ = 60 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 100 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N₁ = 16

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Jumlah bilangan gigi

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·48/2 = 48

Bahagikan mengikut nisbah

N₁ = 48/(1 + 2) = 16

Jawapan

N₁ = 16

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N_D = 48

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju aci perantaraan

n_B = n_C = 960·32/80 = 384 rpm

Gigi pada gear D

N_D = C·n_C/n_out = 36·384/288 = 48

Jawapan

N_D = 48

3.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 2.24 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub

J₁ = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kilasan setiap segmen

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 400000·800/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.006449 rad

φ_BC = 400000·800/(39000·251327) = 0.03265 rad

Jumlah kilasan

φ_C = 0.006449 + 0.03265 = 0.0391 rad = 2.24°

Jawapan

φ_C = 2.24°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 36.5 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·50)) = 36.5 mm

Jawapan

d = 36.5 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = −61.85 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, 40 − 80) = −123.7°

Sudut pada unsur

θ_p = −61.85°

Jawapan

θ_p = −61.85°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 256.6 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = 140000/(π·20²/4) = 140000/314.2 = 445.6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·20³) = 127.3 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 222.8 MPa

R = √(222.8² + 127.3²) = 256.6 MPa

Jawapan

τ_max = 256.6 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.03878 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6.189 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·300/6.189 × 10⁸ = 0.03878 mm

Jawapan

δ = 0.03878 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 173.4 kN

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·2199 = 2.168 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.0008, 0.001429) = 0.0008 (keluli)

Beban terbesar

P_max = 0.0008·2.168 × 10⁸ = 173416 N = 173.4 kN

Jawapan

P_max = 173.4 kN

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 157.9 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2000² = 157914 N = 157.9 kN

Jawapan

P_cr = 157.9 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 4.318 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/7.5 = 400

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

Jawapan

σ_cr = 4.318 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 13.33 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(200000/25) = 89.44 rad/s

f_n = 89.44/(2π) = 14.24 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 14.24·√(1 − 0.35²) = 13.33 Hz

Jawapan

f_d = 13.33 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 3.146 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 12 + 100 = 112 kN/m

k_eq = 112·60/(112 + 60) = 39.07 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(39070/100) = 19.77 rad/s

f_n = 19.77/(2π) = 3.146 Hz

Jawapan

f_n = 3.146 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design