Gear & rangkaian gear
- Gear bergigi bertaut
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Kuasa
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian gear gubahan
- nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat
Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kilasan aci
- Tegasan ricih
- τ = T·r/J
- Aci pejal
- J = πd⁴/32
- Aci berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut piuhan
- φ = TL/(GJ)
- Kuasa
- P = T·ω = 2πnT/60
Kaedah
- Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
- Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
- Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Bulatan Mohr & transformasi tegasan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jejari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegasan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Satah condong
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Kaedah
- Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
- Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegasan & terikan paksi
- Tegasan normal
- σ = F/A
- Terikan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pemanjangan
- ΔL = FL/(EA)
- Terikan terma
- εT = α·ΔT
Lengkokan tiang
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang berkesan
- K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
- Tegasan kritikal
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanikal
- Frekuensi tabii
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Daripada pesongan statik
- ωn = √(g/δst)
- Redaman genting
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Nisbah redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Penyusutan logaritma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Spring secara selari
- k = k1 + k2
- Spring secara bersiri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soalan latihan
1.Gear & rangkaian gearSederhana
Dua aci selari berjarak 250 mm. Kedua-duanya mesti disambung dengan sepasang gear taji bermodul 5 mm dan pengurangan laju 4 : 1. Berapakah bilangan gigi N1 yang mesti dimiliki oleh pinion?
a = 250 mmm = 5 mmi = 4
N1 =
2.Gear & rangkaian gearSukar
Sebuah motor 11 kW pada 960 rpm menggerakkan gear A (12 gigi), yang bersalingan dengan gear B (18 gigi). Gear C (20 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (40 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 98%. Cari tork keluaran Tout.
P = 11 kWnin = 960 rpmA = 12B = 18C = 20D = 40ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.Kilasan aciSederhana
Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.
T = 750 N·md = 50 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
Satu aci berongga menghantar 100 kW pada 750 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τmax dalam aci itu.
P = 100 kWN = 750 rpmdo = 100 mmdi = 60 mm
τmax = MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
Satu titik mempunyai σₓ = 140 MPa, σᵧ = 110 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 30° ikut arah jam. Cari tegasan normal σy′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.
σx = 140 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPaθ = -30°
σy′ = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 160 MPa, σᵧ = 110 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σθ pada satah yang normalnya diputar 30° lawan arah jam dari paksi-x.
σx = 160 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Cari terikan paksi ε dalam bar keluli, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).
P = 60 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Tegasan & terikan paksiSukar
Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σmax dalam bar itu.
P = 60 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Lengkokan tiangSederhana
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.
L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.
L = 2 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
Jisim 12 kg pada spring berkekakuan 2 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.3. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.
m = 12 kgk = 2 kN/mζ = 0.3
fd = Hz
12.Getaran mekanikalSukar
Jisim 100 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 25 kN/m. Jisim kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.
m = 100 kgk1 = 12 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Gear & rangkaian gear
Jawapan: N1 = 20
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Jumlah bilangan gigi
N1 + N2 = 2a/m = 2·250/5 = 100
Bahagikan mengikut nisbah
N1 = 100/(1 + 4) = 20
Jawapan
N1 = 20
2.Gear & rangkaian gear
Jawapan: Tout = 315.3 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Laju keluaran
nout = 960·(12/18)·(20/40) = 320 rpm
ωout = 2π·320/60 = 33.51 rad/s
Kuasa dan tork keluaran
Pout = 11000·0.98² = 10564 W
Tout = Pout/ωout = 10564/33.51 = 315.3 N·m
Jawapan
Tout = 315.3 N·m
3.Kilasan aci
Jawapan: φ = 0.7003 °
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Momen luas kutub kedua
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(80000·613592) = 0.01222 rad
φ = 0.01222·180/π = 0.7003°
Jawapan
φ = 0.7003°
4.Kilasan aci
Jawapan: τmax = 7.45 MPa
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m
Momen luas kutub kedua
J = π(100⁴ − 60⁴)/32 = 8.545 × 10⁶ mm⁴
Tegasan ricih maksimum
τmax = T·(do/2)/J = 1.273 × 10⁶·50/8.545 × 10⁶ = 7.45 MPa
Jawapan
τmax = 7.45 MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: σy′ = 143.5 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Persamaan transformasi bagi muka y′
σy′ = 125 − 15·0.5 − 30·(−0.866) = 143.5 MPa
Semakan
Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.
σx′ = 106.5 MPa, σx′ + σy′ = 250 = σx + σy
Jawapan
σy′ = 143.5 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: σθ = 173.5 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Persamaan transformasi
σθ = 135 + 25·0.5 + 30·0.866 = 173.5 MPa
Jawapan
σθ = 173.5 MPa
7.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: ε = 611.2 µε
Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).
Tegasan
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 60·1000/490.9 = 122.2 MPa
Terikan (hukum Hooke)
E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 122.2/200000 = 0.0006112 = 611.2 µε
Jawapan
ε = 611.2 µε
8.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: σmax = 298.4 MPa
Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.
Daya yang sama dalam kedua-dua segmen
Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 122.2 MPa
σ2 = 298.4 MPa
Tegasan terbesar
Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.
σmax = 298.4 MPa
Jawapan
σmax = 298.4 MPa
9.Lengkokan tiang
Jawapan: Pcr = 12.56 kN
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Panjang berkesan
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
Beban kritikal
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12.56 kN
Jawapan
Pcr = 12.56 kN
10.Lengkokan tiang
Jawapan: σcr = 49.35 MPa
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
Jejari legaran dan kelangsingan
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/5 = 200
Tegasan kritikal
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa
Jawapan
σcr = 49.35 MPa
11.Getaran mekanikal
Jawapan: fd = 1.96 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frekuensi tabii tanpa redaman
ωn = √(2000/12) = 12.91 rad/s
fn = 12.91/(2π) = 2.055 Hz
Frekuensi tabii teredam
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.055·√(1 − 0.3²) = 1.96 Hz
Jawapan
fd = 1.96 Hz
12.Getaran mekanikal
Jawapan: fn = 3.061 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan setara
Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k1 + k2.
keq = 12 + 25 = 37 kN/m
Frekuensi tabii
ωn = √(37000/100) = 19.24 rad/s
fn = 19.24/(2π) = 3.061 Hz
Jawapan
fn = 3.061 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design