Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 125 mm pada 1450 rpm. Tegangannya ialah 1000 N pada sisi kencang dan 400 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 400 N

P = kW

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal 100 mm dan takal 400 mm yang pusatnya berjarak 500 mm. Cari sudut lilitan θ pada takal yang lebih kecil, dalam darjah.

d₁ = 100 mmd₂ = 400 mmC = 500 mm

θ = °

3.Kilasan aciSederhana

Aci aluminium pepejal berperingkat terikat pada A. Segmen AB berdiameter 30 mm dan panjang 0.5 m; segmen BC berdiameter 20 mm dan panjang 0.5 m. Tork 200 N·m bertindak pada hujung bebas C. Cari sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

T = 200 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 0.5 md₂ = 20 mm, L₂ = 0.5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Kilasan aciSukar

Aci loyang pepejal berdiameter 60 mm terikat pada A. Tork 1500 N·m bertindak pada B, 1.5 m dari A, dan tork 2000 N·m dalam arah yang sama bertindak pada hujung bebas C, 2.5 m lagi ke hadapan. Cari magnitud sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

d = 60 mmT_B = 1500 N·mT_C = 2000 N·mAB = 1.5 mBC = 2.5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 90 MPa, σᵧ = 70 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 90 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 600 mm dan ketebalan dinding 5 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 3 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 40° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 600 mmt = 5 mmp = 3 MPaα = 40°

σ_n = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar keluli di bawah beban paksi itu.

P = 55 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 90 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 130 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 130 kNn = 3L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 40 mm diikuti 2 kitaran kemudian oleh puncak 11.3 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 40 mmx₂ = 11.3 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 50 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 12 kN/m dan spring bawah k₂ = 50 kN/m. Cari kekakuan setara k_eq sistem spring dalam kN/m.

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 5.694 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 9.49 m/s

Kuasa

P = (1000 − 400)·9.49 = 5694 W = 5.694 kW

Jawapan

P = 5.694 kW

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: θ = 145.1 °

Sudut tali sawat

asin(0.3) = 17.46°

Sudut lilitan

θ = 180 − 2·17.46 = 145.1°

Jawapan

θ = 145.1°

3.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 16.8 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Kilasan setiap segmen

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 200000·500/(26000·79522) = 0.04837 rad

φ_BC = 200000·500/(26000·15708) = 0.2449 rad

Jumlah kilasan

φ_C = 0.04837 + 0.2449 = 0.2932 rad = 16.8°

Jawapan

φ_C = 16.8°

4.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 11.84 °

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 2000 + 1500 = 3500 N·m

Kilasan setiap segmen

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 3.5 × 10⁶·1500/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.1058 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·2500/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.1008 rad

Kilasan hujung C

φ_C = 0.1058 + 0.1008 = 0.2066 rad → |φ_C| = 11.84°

Jawapan

φ_C = 11.84°

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 35.78 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 90 − 70) = 71.57°

Sudut pada unsur

θ_p = 35.78°

Jawapan

θ_p = 35.78°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 142.8 MPa

Tegasan dinding

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 3·300/5 = 180 MPa

σ_a = pr/(2t) = 90 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 90·sin²40° + 180·cos²40° = 142.8 MPa

Jawapan

σ_n = 142.8 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.4377 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 55·1000/314.2 = 175.1 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 175.1/200000 = 0.0008754 = 875.4 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.0008754·500 mm = 0.4377 mm

Jawapan

δ = 0.4377 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 447.6 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 93.54 MPa

σ₂ = 447.6 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 447.6 MPa

Jawapan

σ_max = 447.6 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 10.01 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2800² = 10011 N = 10.01 kN

Jawapan

P_cr = 10.01 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 100.9 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·130000 = 390000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 100.9 mm

Jawapan

d = 100.9 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 119, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.1001

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/2)·ln(40/11.3) = 0.632

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.632/√(39.48 + 0.3995) = 0.1001

Jawapan

ζ = 0.1001

12.Getaran mekanikal

Jawapan: k_eq = 9.677 kN/m

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/50 → k_eq = 12·50/(12 + 50) = 9.677 kN/m

Jawapan

k_eq = 9.677 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design