Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Takal 125 mm pada 1440 rpm memacu takal 200 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 2.5 %. Cari laju n₂ takal yang dipacu.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 200 mms = 2.5 %

n₂ = rpm

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal 160 mm dan takal 300 mm yang pusatnya berjarak 800 mm. Cari sudut lilitan θ pada takal yang lebih kecil, dalam darjah.

d₁ = 160 mmd₂ = 300 mmC = 800 mm

θ = °

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 500 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 5 kW pada 3000 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 5 kWN = 3000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 120 MPa, σᵧ = 50 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 40° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = 120 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 30 MPa, σᵧ = 90 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 20° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 110 GPa). Kedua-duanya sepanjang 800 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 30 kNsegmen 1: Ø30 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0.5 m, loyang (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 30 mm diikuti 2 kitaran kemudian oleh puncak 20.6 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 30 mmx₂ = 20.6 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 50 kg tergantung pada spring k₃ = 15 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 5 kN/m dan k₂ = 40 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n₂ = 877.5 rpm

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tanpa gelinciran

1440·125/200 = 900 rpm

Dengan gelinciran

n₂ = 900·0.975 = 877.5 rpm

Jawapan

n₂ = 877.5 rpm

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: θ = 170 °

Sudut tali sawat

asin(0.0875) = 5.02°

Sudut lilitan

θ = 180 − 2·5.02 = 170°

Jawapan

θ = 170°

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 1.751 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 500·1000·3000/(80000·613592) = 0.03056 rad

φ = 0.03056·180/π = 1.751°

Jawapan

φ = 1.751°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 10.26 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 5000/314.2 = 15.92 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·15915/(π·75)) = 10.26 mm

Jawapan

d = 10.26 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = 128.2 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = 85 − 35·0.1736 − (−50)·0.9848 = 128.2 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 41.84 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 170 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = 128.2 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = 34.6 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−30·0.6428 + 20·0.766 = 34.6 MPa

Jawapan

τ_θ = 34.6 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.289 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·4006 = 6.919 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 250000·800/6.919 × 10⁸ = 0.289 mm

Jawapan

δ = 0.289 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.751 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 42.44 MPa

σ₂ = 265.3 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 42.44·2000/200000 = 0.4244 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 265.3·500/100000 = 1.326 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1.751 mm

Jawapan

δ = 1.751 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 131.6 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2000² = 131595 N = 131.6 kN

Jawapan

P_cr = 131.6 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 24.87 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166.7

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166.7² = 24.87 MPa

Jawapan

σ_cr = 24.87 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.0299

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/2)·ln(30/20.6) = 0.188

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.188/√(39.48 + 0.03533) = 0.0299

Jawapan

ζ = 0.0299

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 2.387 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 5 + 40 = 45 kN/m

k_eq = 45·15/(45 + 15) = 11.25 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(11250/50) = 15 rad/s

f_n = 15/(2π) = 2.387 Hz

Jawapan

f_n = 2.387 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design