Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
N1​N2​ = ?

Dua aci selari berjarak 75 mm. Kedua-duanya mesti disambung dengan sepasang gear taji bermodul 1.5 mm dan pengurangan laju 3 : 1. Berapakah bilangan gigi N2 yang mesti dimiliki oleh gear?

a = 75 mmm = 1.5 mmi = 3
N2 =
2.Gear & rangkaian gearSukar
A = 24B = 80C = 15D = 80

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (24 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 1450 rpm memacu gear B (80 gigi). Gear C (15 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (80 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran nout.

nin = 1450 rpmA = 24B = 80C = 15D = 80
nout = rpm
3.Kilasan aciSederhana
T = 500 N·md = 50 mmL = 1.2 mφ = ?

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 500 N·md = 50 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
d = 40 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 0.5 mb = 1 m

Aci loyang pepejal berdiameter 40 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 2000 N·m dikenakan pada C, 0.5 m dari A dan 1 m dari B. Cari tegasan ricih maksimum τmax dalam aci.

d = 40 mmT0 = 2000 N·ma = 0.5 mb = 1 m
τmax = MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = 40σy​ = 40τxy​ = 30MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 40 MPa, σᵧ = 40 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.

σx = 40 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​τxy​permukaan aci

Aci pepejal berdiameter 50 mm membawa daya tegangan paksi 50 kN bersama-sama dengan tork 400 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.

d = 50 mmF = 50 kNT = 400 N·m
τmax = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Ø 10 mmAluminium2 mP = 90 kN

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 90 kNd = 10 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
P = ?Ø3070 GPaØ80/50600 mm

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 150 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 70 GPa, tegasan dibenarkan 50 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar Pmax.

rod: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPatiub: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 2 m20 × 80 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 3 md = 50 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
k = 12 kN/mζ = 0.45m = 10 kg

Jisim 10 kg pada spring berkekakuan 12 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.45. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 10 kgk = 12 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 12k2​ = 10m = 25 kg

Jisim 25 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 12 kN/m dan spring bawah k₂ = 10 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 25 kgk1 = 12 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N2 = 75

Geometri gear: modul m menentukan saiz gigi. Gear dengan N gigi mempunyai diameter pic d = m·N, dua gear yang bersalingan mempunyai modul yang sama, dan jarak pusatnya ialah a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Laju garis pic ialah v = π·d·n/60, dan daya tangen gigi diperoleh daripada tork: Ft = 2T/d.

Jumlah bilangan gigi

N1 + N2 = 2a/m = 2·75/1.5 = 100

Bahagikan mengikut nisbah

N1 = 100/(1 + 3) = 25
N2 = 3·25 = 75

Jawapan

N2 = 75
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: nout = 81.56 rpm

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Peringkat pertama

nB = 1450·24/80 = 435 rpm = nC

Peringkat kedua

nout = 435·15/80 = 81.56 rpm

Jawapan

nout = 81.56 rpm

nisbah keseluruhan = 17.78 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 1.437 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(39000·613592) = 0.02507 rad
φ = 0.02507·180/π = 1.437°

Jawapan

φ = 1.437°
4.Kilasan aci

Jawapan: τmax = 106.1 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan TA + TB = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·1/1.5 = 1333 N·m
TB = 2000·0.5/1.5 = 666.7 N·m

Tegasan ricih maksimum

Tork yang lebih besar daripada kedua-duanya menentukan (diameter sama).

τmax = 16·1.333 × 10⁶/(π·40³) = 106.1 MPa

Jawapan

τmax = 106.1 MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τmax = 30 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

στxyCτmax​

Jejari bulatan Mohr

τmax = R = √(((40 − 40)/2)² + 30²) = 30 MPa

Jawapan

τmax = 30 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τmax = 20.68 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = 50000/(π·50²/4) = 50000/1963 = 25.46 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·50³) = 16.3 MPa
στxyCτmax​

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 12.73 MPa
R = √(12.73² + 16.3²) = 20.68 MPa

Jawapan

τmax = 20.68 MPa
7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 32.74 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 90·1000/78.54 = 1146 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1146/70000 = 0.01637 = 16370 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.01637·2000 mm = 32.74 mm

Jawapan

δ = 32.74 mm
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: Pmax = 254.1 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·3063 = 3.558 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.00075, 0.0007143) = 0.0007143 (aluminium)

Beban terbesar

Pmax = 0.0007143·3.558 × 10⁸ = 254132 N = 254.1 kN

Jawapan

Pmax = 254.1 kN
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 2.303 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/4000² = 2303 N = 2.303 kN

Jawapan

Pcr = 2.303 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 11.99 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/12.5 = 240

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11.99 MPa

Jawapan

σcr = 11.99 MPa
11.Getaran mekanikal

Jawapan: fd = 4.924 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ωn = √(12000/10) = 34.64 rad/s
fn = 34.64/(2π) = 5.513 Hz

Frekuensi tabii teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 5.513·√(1 − 0.45²) = 4.924 Hz

Jawapan

fd = 4.924 Hz
12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 2.351 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/12 + 1/10 → keq = 12·10/(12 + 10) = 5.455 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(5455/25) = 14.77 rad/s
fn = 14.77/(2π) = 2.351 Hz

Jawapan

fn = 2.351 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design