Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
N1​ = 36N2​ = 48

Sebuah motor 5.5 kW yang berputar pada 1450 rpm memacu pinion 36 gigi, yang bertaut dengan gear 48 gigi. Abaikan kehilangan. Cari tork keluaran T2 pada aci gear.

P = 5.5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 36N2 = 48η = 100%
T2 = N·m
2.Gear & rangkaian gearSukar
A = 50B = 80C = 18D = 72

Sebuah motor 1.1 kW pada 960 rpm menggerakkan gear A (50 gigi), yang bersalingan dengan gear B (80 gigi). Gear C (18 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (72 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 97%. Cari tork keluaran Tout.

P = 1.1 kWnin = 960 rpmA = 50B = 80C = 18D = 72ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.Kilasan aciSederhana
d = 10 mmT = 40 N·m300 mmφ = 8.75°

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 10 mm dipiuh oleh tork 40 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 300 mm berputar 8.75° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 40 N·md = 10 mmL = 300 mmφ = 8.75°
G = GPa
4.Kilasan aciSukar
d = 60 mmTB​ = 400 N·mTC​ = 2000 N·mABC3 m2.5 m

Aci keluli pepejal berdiameter 60 mm terikat pada A. Tork 400 N·m bertindak pada B, 3 m dari A, dan tork 2000 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 2.5 m lagi ke hadapan. Cari magnitud sudut kilasan φC hujung C, dalam darjah.

d = 60 mmTB = 400 N·mTC = 2000 N·mAB = 3 mBC = 2.5 mG = 80 GPa
φC = °
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = −10σy​ = 120τxy​ = 60MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −10 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.

σx = −10 MPaσy = 120 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = −20σy​ = 120τxy​ = −40MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −20 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σθ pada satah yang normalnya diputar 30° lawan arah jam dari paksi-x.

σx = −20 MPaσy = 120 MPaτxy = −40 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Ø 10 mmKuprum1 mP = 120 kN

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 120 kNd = 10 mmL = 1 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
Ø 40 mmLoyang0.5 mØ 16 mmLoyang2 mP = 80 kN

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σmax dalam bar itu.

P = 80 kNsegmen 1: Ø40 mm, 0.5 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, loyang (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 2 md = 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 5 kNL = 6 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 5 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 5 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm
11.Getaran mekanikalSederhana
tx30 mm3 kitaran4.5 mm

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 30 mm diikuti 3 kitaran kemudian oleh puncak 4.5 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x0 = 30 mmx3 = 4.5 mmn = 3
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 12k2​ = 60m = 10 kg

Jisim 10 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 12 kN/m dan spring bawah k₂ = 60 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 10 kgk1 = 12 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T2 = 48.3 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/151.8 = 36.22 N·m

Tork keluaran

T2 = 36.22·48/36·1 = 48.3 N·m

Jawapan

T2 = 48.3 N·m
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: Tout = 65.89 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju keluaran

nout = 960·(50/80)·(18/72) = 150 rpm
ωout = 2π·150/60 = 15.71 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

Pout = 1100·0.97² = 1035 W
Tout = Pout/ωout = 1035/15.71 = 65.89 N·m

Jawapan

Tout = 65.89 N·m
3.Kilasan aci

Jawapan: G = 80.04 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 8.75·π/180 = 0.1527 rad

Modulus ricih

T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·300/(981.7·0.1527) = 80038 MPa
G = 80.04 GPa

Jawapan

G = 80.04 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: φC = 5.516 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork dalaman

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 2000 N·m
TAB = TC − TB = 2000 − 400 = 1600 N·m

Kilasan setiap segmen

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 1.6 × 10⁶·3000/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.04716 rad
φBC = 2 × 10⁶·2500/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.04912 rad

Kilasan hujung C

φC = 0.04716 + 0.04912 = 0.09628 rad → |φC| = 5.516°

Jawapan

φC = 5.516°
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τmax = 88.46 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

στxyCτmax​

Jejari bulatan Mohr

τmax = R = √(((−10 − 120)/2)² + 60²) = 88.46 MPa

Jawapan

τmax = 88.46 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σθ = −19.64 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi

σθ = 50 + −70·0.5 + −40·0.866 = −19.64 MPa

Jawapan

σθ = −19.64 MPa
7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 13.06 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 120·1000/78.54 = 1528 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1528/117000 = 0.01306 = 13059 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.01306·1000 mm = 13.06 mm

Jawapan

δ = 13.06 mm
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σmax = 397.9 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 63.66 MPa
σ2 = 397.9 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σmax = 397.9 MPa

Jawapan

σmax = 397.9 MPa
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 109.9 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109.9 kN

Jawapan

Pcr = 109.9 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 31.04 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·5000 = 10000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 31.04 mm

Jawapan

d = 31.04 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 386.5, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.1001

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/3)·ln(30/4.5) = 0.6324

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6324/√(39.48 + 0.3999) = 0.1001

Jawapan

ζ = 0.1001
12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 5.033 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/12 + 1/60 → keq = 12·60/(12 + 60) = 10 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(10000/10) = 31.62 rad/s
fn = 31.62/(2π) = 5.033 Hz

Jawapan

fn = 5.033 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design