Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 15 kW yang berputar pada 1440 rpm memacu pinion 30 gigi, yang bertaut dengan gear 36 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 96%. Cari tork keluaran T₂ pada aci gear.

P = 15 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 30N₂ = 36η = 96%

T₂ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam set gear planet, gear suria mempunyai 12 gigi dan setiap gear planet mempunyai 18 gigi. Pembawa planet ditahan tetap dan gear suria digerakkan pada 1200 rpm. Cari laju n_r gear anulus (magnitud).

N_s = 12N_p = 18n_s = 1200 rpm

n_r = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal berdiameter 40 mm terikat pada A. Tork 2000 N·m bertindak pada B, 2 m dari A, dan tork 250 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 2.5 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 40 mmT_B = 2000 N·mT_C = 250 N·mAB = 2 mBC = 2.5 m

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 70 MPa, σᵧ = −40 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 35° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = 70 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −80 MPa, σᵧ = 100 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 30° ikut arah jam dari paksi-x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 115 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 120 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa, tegasan dibenarkan 50 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatiub: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 55 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 55 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 50 mm diikuti 3 kitaran kemudian oleh puncak 34.3 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 50 mmx₃ = 34.3 mmn = 3

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 25 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 10 kN/m dan k₂ = 60 kN/m. Jisim kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₂ = 114.6 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/150.8 = 99.47 N·m

Tork keluaran

T₂ = 99.47·36/30·0.96 = 114.6 N·m

Jawapan

T₂ = 114.6 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_r = 300 rpm

Set gear planet: laju gear suria, anulus dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set itu ialah susunan gear biasa dengan planet sebagai gear perantara. Menahan satu ahli tetap menjadikan set itu pengurang nisbah tunggal.

Gigi gear anulus

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·18 = 48

Persamaan Willis dengan pembawa tetap

Dengan n_c = 0 gear suria menggerakkan anulus melalui planet, yang bertindak sebagai gear perantara.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1200·12/48 = −300 rpm

|n_r| = 300 rpm

Jawapan

n_r = 300 rpm

Anulus berputar berlawanan dengan gear suria.

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 1.425 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(80000·251327) = 0.02487 rad

φ = 0.02487·180/π = 1.425°

Jawapan

φ = 1.425°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 139.3 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 2000 = −1750 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 1750 N·m

τ_max = 16·1.75 × 10⁶/(π·40³) = 139.3 MPa

Jawapan

τ_max = 139.3 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = −50.8 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = 15 − 55·0.342 − 50·0.9397 = −50.8 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 80.8 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 30 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = −50.8 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −9.019 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 10 + −90·0.5 + −30·−0.866 = −9.019 MPa

Jawapan

σ_θ = −9.019 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.564 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 115·1000/314.2 = 366.1 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 366.1/117000 = 0.003129 = 3129 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.003129·500 mm = 1.564 mm

Jawapan

δ = 1.564 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 415.2 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·8482 = 6.919 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.0006, 0.0007143) = 0.0006 (keluli)

Beban terbesar

P_max = 0.0006·6.919 × 10⁸ = 415161 N = 415.2 kN

Jawapan

P_max = 415.2 kN

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 91.79 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·1000 = 700 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/700² = 91793 N = 91.79 kN

Jawapan

P_cr = 91.79 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 60.45 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 60.45 mm

Jawapan

d = 60.45 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 185.3, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.01999

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/3)·ln(50/34.3) = 0.1256

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1256/√(39.48 + 0.01578) = 0.01999

Jawapan

ζ = 0.01999

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 8.422 Hz

Kekakuan setara

Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 60 = 70 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(70000/25) = 52.92 rad/s

f_n = 52.92/(2π) = 8.422 Hz

Jawapan

f_n = 8.422 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design