Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 1.1 kW pada 1440 rpm menggerakkan cacing dengan 1 permulaan. Roda cacing mempunyai 30 gigi dan pemacu itu berkecekapan 60%. Cari tork keluaran T_w pada aci roda.

z = 1N_w = 30n = 1440 rpmP = 1.1 kWη = 60%

T_w = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Sebuah motor 2.2 kW pada 2900 rpm menggerakkan gear A (18 gigi), yang bersalingan dengan gear B (48 gigi). Gear C (24 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (50 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 97%. Cari tork keluaran T_out.

P = 2.2 kWn_in = 2900 rpmA = 18B = 48C = 24D = 50η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Kilasan aciSederhana

Aci loyang berongga (diameter luar 60 mm, diameter dalam 45 mm, panjang 0.5 m) terikat pada satu hujung dan dipiuh oleh tork 500 N·m pada hujung yang satu lagi. Cari sudut kilasan φ dalam darjah.

T = 500 N·md_o = 60 mmd_i = 45 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 75 kW pada 1000 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 75 kWN = 1000 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −20 MPa, σᵧ = −10 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 25° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = −20 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 1200 mm dan ketebalan dinding 5 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 1.2 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 20° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 1200 mmt = 5 mmp = 1.2 MPaα = 20°

σ_n = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 60 mm, panjang 300 mm, E = 70 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.3 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 75 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0.5 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0.5 m, keluli (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 10 mm diikuti 4 kitaran kemudian oleh puncak 2.2 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 10 mmx₄ = 2.2 mmn = 4

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 50 kg tergantung pada spring k₃ = 20 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 50 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T_w = 131.3 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju roda

n_w = n·z/N_w = 1440·1/30 = 48 rpm

Tork keluaran

ω_w = 2π·48/60 = 5.027 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.6·1100/5.027 = 131.3 N·m

Jawapan

T_w = 131.3 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T_out = 37.87 N·m

Laju keluaran

n_out = 2900·(18/48)·(24/50) = 522 rpm

ω_out = 2π·522/60 = 54.66 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

P_out = 2200·0.97² = 2070 W

T_out = P_out/ω_out = 2070/54.66 = 37.87 N·m

Jawapan

T_out = 37.87 N·m

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.4223 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Sudut piuhan

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 0.5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·500/(39000·869767) = 0.00737 rad

φ = 0.00737·180/π = 0.4223°

Jawapan

φ = 0.4223°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 60.79 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 716197·20/235619 = 60.79 MPa

Jawapan

τ_max = 60.79 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = −34.77 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = −15 − (−5)·0.6428 − 30·0.766 = −34.77 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 4.767 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −30 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = −34.77 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 135.6 MPa

Tegasan dinding

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1.2·600/5 = 144 MPa

σ_a = pr/(2t) = 72 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 72·sin²20° + 144·cos²20° = 135.6 MPa

Jawapan

σ_n = 135.6 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 31.67 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314.2) = 7.958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·2827) = 1.516 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.3/9.474 × 10⁻⁶ = 31667 N = 31.67 kN

Jawapan

P = 31.67 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 238.7 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 77.95 MPa

σ₂ = 238.7 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 238.7 MPa

Jawapan

σ_max = 238.7 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 4.205 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4.205 kN

Jawapan

P_cr = 4.205 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 157.4 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/6.25 = 112

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/112² = 157.4 MPa

Jawapan

σ_cr = 157.4 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.06014

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/4)·ln(10/2.2) = 0.3785

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3785/√(39.48 + 0.1433) = 0.06014

Jawapan

ζ = 0.06014

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 2.847 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 30 + 50 = 80 kN/m

k_eq = 80·20/(80 + 20) = 16 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(16000/50) = 17.89 rad/s

f_n = 17.89/(2π) = 2.847 Hz

Jawapan

f_n = 2.847 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design