Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
N1​ = 24N2​ = 30

Sebuah motor 3 kW yang berputar pada 960 rpm memacu pinion 24 gigi, yang bertaut dengan gear 30 gigi. Abaikan kehilangan. Cari tork T1 pada aci motor.

P = 3 kWn1 = 960 rpmN1 = 24N2 = 30η = 100%
T1 = N·m
2.Gear & rangkaian gearSukar
Ns​ = 24anulus tetapNp​ = 15nc​ = ?

Dalam set gear planet, gear suria mempunyai 24 gigi dan setiap gear planet mempunyai 15 gigi. Gear anulus ditahan tetap dan gear suria digerakkan pada 3000 rpm. Cari laju nc pembawa planet.

Ns = 24Np = 15ns = 3000 rpm
nc = rpm
3.Kilasan aciSederhana
d = ?T = 500 N·mL = 0.5 m

Aci loyang pepejal 0.5 m panjang membawa tork 500 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 1°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 500 N·mL = 0.5 mG = 39 GPaφallow = 1°
d = mm
4.Kilasan aciSukar
Td = ?

Satu aci pejal mesti menghantar 100 kW pada 1800 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 100 kWN = 1800 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = 10σy​ = 70τxy​ = −10MPa

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 70 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa, dengan σz = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τabs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σx = 10 MPaσy = 70 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = 110σy​ = 110τxy​ = −20MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 110 MPa, σᵧ = 110 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σθ pada satah yang normalnya diputar 50° lawan arah jam dari paksi-x.

σx = 110 MPaσy = 110 MPaτxy = −20 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
P = ?12400 mm500 mmØ20Ø60δ = 0.3 mm

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 60 mm, panjang 500 mm, E = 100 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.3 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.Tegasan & terikan paksiSukar
P = ?Ø40110 GPaØ100/50800 mm

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 150 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa, tegasan dibenarkan 60 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar Pmax.

rod: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPatiub: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 2 m40 × 80 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 2 md = 40 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
k = 20 kN/mζ = 0.3m = 80 kg

Jisim 80 kg pada spring berkekakuan 20 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.3. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 80 kgk = 20 kN/mζ = 0.3
fd = Hz
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 80k2​ = 50m = 50 kg

Jisim 50 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 80 kN/m dan k₂ = 50 kN/m. Jisim kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 50 kgk1 = 80 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T1 = 29.84 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/100.5 = 29.84 N·m

Jawapan

T1 = 29.84 N·m
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: nc = 923.1 rpm

Set gear planet: laju gear suria, anulus dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: dilihat dari pembawa, set itu ialah susunan gear biasa dengan planet sebagai gear perantara. Menahan satu ahli tetap menjadikan set itu pengurang nisbah tunggal.

Gigi gear anulus

Nr = Ns + 2·Np = 24 + 2·15 = 54

Persamaan Willis dengan anulus tetap

Tetapkan nr = 0 dan selesaikan untuk laju pembawa.

(3000 − nc)/(0 − nc) = −54/24
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 3000·24/78 = 923.1 rpm

Jawapan

nc = 923.1 rpm

Pembawa berputar dalam arah yang sama dengan gear suria.

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 43.98 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 500000·500/(39000·0.01745) = 367281 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)1/4 = 43.98 mm

Jawapan

d = 43.98 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 35.58 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 100000/188.5 = 530.5 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·530516/(π·60)) = 35.58 mm

Jawapan

d = 35.58 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τabs = 35.81 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σmax − σmin)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

στxyCσ1​σ2​

Tegasan utama dalam satah

C = 40 MPa, R = √((−30)² + (−10)²) = 31.62 MPa
σ1 = 71.62 MPa, σ2 = 8.377 MPa, σz = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(63.25, 71.62, 8.377)/2 = 35.81 MPa

Jawapan

τabs = 35.81 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σθ = 90.3 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi

σθ = 110 + 0·−0.1736 + −20·0.9848 = 90.3 MPa

Jawapan

σθ = 90.3 MPa
7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 36.88 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1.768 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.3/8.135 × 10⁻⁶ = 36880 N = 36.88 kN

Jawapan

P = 36.88 kN
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: Pmax = 490.5 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5890 = 8.993 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.00075, 0.0005455) = 0.0005455 (gangsa)

Beban terbesar

Pmax = 0.0005455·8.993 × 10⁸ = 490517 N = 490.5 kN

Jawapan

Pmax = 490.5 kN
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 73.69 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/2000² = 73693 N = 73.69 kN

Jawapan

Pcr = 73.69 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 12.34 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/10 = 400

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

Jawapan

σcr = 12.34 MPa
11.Getaran mekanikal

Jawapan: fd = 2.401 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ωn = √(20000/80) = 15.81 rad/s
fn = 15.81/(2π) = 2.516 Hz

Frekuensi tabii teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.516·√(1 − 0.3²) = 2.401 Hz

Jawapan

fd = 2.401 Hz
12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 8.115 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k1 + k2.

keq = 80 + 50 = 130 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(130000/50) = 50.99 rad/s
fn = 50.99/(2π) = 8.115 Hz

Jawapan

fn = 8.115 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design