Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 150 mm pada 960 rpm. Tegangannya ialah 1000 N pada sisi kencang dan 400 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d₁ = 150 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 400 N

P = kW

2.Gear & rangkaian gearSukar

Sebuah motor 3 kW pada 1440 rpm menggerakkan gear A (16 gigi), yang bersalingan dengan gear B (20 gigi). Gear C (12 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (25 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 97%. Cari tork keluaran T_out.

P = 3 kWn_in = 1440 rpmA = 16B = 20C = 12D = 25η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 100 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 15 kW pada 3000 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 15 kWN = 3000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 10 MPa, σᵧ = −80 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 110 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 300 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria Tresca (tegasan ricih maksimum).

σ_x = 150 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 60 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.3 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 250 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa, tegasan dibenarkan 50 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatiub: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 2 kg pada spring berkekakuan 8 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.3. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 2 kgk = 8 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 100 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 25 kN/m dan spring bawah k₂ = 80 kN/m. Cari kekakuan setara k_eq sistem spring dalam kN/m.

m = 100 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 4.524 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 7.54 m/s

Kuasa

P = (1000 − 400)·7.54 = 4524 W = 4.524 kW

Jawapan

P = 4.524 kW

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T_out = 48.75 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju keluaran

n_out = 1440·(16/20)·(12/25) = 553 rpm

ω_out = 2π·553/60 = 57.91 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

P_out = 3000·0.97² = 2823 W

T_out = P_out/ω_out = 2823/57.91 = 48.75 N·m

Jawapan

T_out = 48.75 N·m

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.9006 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(80000·79522) = 0.01572 rad

φ = 0.01572·180/π = 0.9006°

Jawapan

φ = 0.9006°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 14.49 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 15000/314.2 = 47.75 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·47746/(π·80)) = 14.49 mm

Jawapan

d = 14.49 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = −20.82 °

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 10 − −80) = −41.63°

Sudut pada unsur

θ_p = −20.82°

Jawapan

θ_p = −20.82°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 1.632

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 130 MPa, R = 53.85 MPa

σ₁ = 183.9 MPa, σ₂ = 76.15 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 183.9 MPa

n = 300/183.9 = 1.632

Jawapan

n = 1.632

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 42.12 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·2827) = 1.011 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.3/7.122 × 10⁻⁶ = 42123 N = 42.12 kN

Jawapan

P = 42.12 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 414 kN

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·7461 = 9.935 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.00125, 0.0004167) = 0.0004167 (kuprum)

Beban terbesar

P_max = 0.0004167·9.935 × 10⁸ = 413970 N = 414 kN

Jawapan

P_max = 414 kN

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 13.88 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/4000² = 13879 N = 13.88 kN

Jawapan

P_cr = 13.88 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 13.77 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/12.5 = 224

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/224² = 13.77 MPa

Jawapan

σ_cr = 13.77 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 9.602 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(8000/2) = 63.25 rad/s

f_n = 63.25/(2π) = 10.07 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10.07·√(1 − 0.3²) = 9.602 Hz

Jawapan

f_d = 9.602 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: k_eq = 19.05 kN/m

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/80 → k_eq = 25·80/(25 + 80) = 19.05 kN/m

Jawapan

k_eq = 19.05 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design