Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Takal 120 mm pada 1500 rpm memacu takal 250 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 3 %. Cari laju n₂ takal yang dipacu.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 250 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam alur gear majmuk, gear A (45 gigi) pada aci masukan berputar pada 960 rpm dan menggerakkan gear B (60 gigi). Gear C (20 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan menggerakkan gear D pada aci keluaran. Keluaran mesti berputar pada 300 rpm. Berapakah bilangan gigi N_D yang mesti dimiliki oleh gear D?

n_in = 960 rpmA = 45B = 60C = 20n_out = 300 rpm

N_D =

3.Kilasan aciSederhana

Aci loyang pepejal 2 m panjang membawa tork 400 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 1.5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 400 N·mL = 2 mG = 39 GPaφ_allow = 1.5°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 50 kW pada 1450 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 50 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 110 MPa, σᵧ = 90 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 110 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 25 mm membawa daya mampatan paksi 160 kN bersama-sama dengan tork 200 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 25 mmF = −160 kNT = 200 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa). Kedua-duanya sepanjang 800 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 120 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0.5 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, loyang (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 30 mm diikuti 4 kitaran kemudian oleh puncak 6.6 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 30 mmx₄ = 6.6 mmn = 4

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 50 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 40 kN/m dan spring bawah k₂ = 20 kN/m. Cari kekakuan setara k_eq sistem spring dalam kN/m.

m = 50 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n₂ = 698.4 rpm

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tanpa gelinciran

1500·120/250 = 720 rpm

Dengan gelinciran

n₂ = 720·0.97 = 698.4 rpm

Jawapan

n₂ = 698.4 rpm

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N_D = 48

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju aci perantaraan

n_B = n_C = 960·45/60 = 720 rpm

Gigi pada gear D

N_D = C·n_C/n_out = 20·720/300 = 48

Jawapan

N_D = 48

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 53.15 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·2000/(39000·0.02618) = 783532 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 53.15 mm

Jawapan

d = 53.15 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 30.35 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 50000/151.8 = 329.3 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·329286/(π·60)) = 30.35 mm

Jawapan

d = 30.35 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = −40.27 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 110 − 90) = −80.54°

Sudut pada unsur

θ_p = −40.27°

Jawapan

θ_p = −40.27°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 12.55 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = −160000/(π·25²/4) = −160000/490.9 = −325.9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·25³) = 65.19 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = −163 MPa

R = √((−163)² + 65.19²) = 175.5 MPa

σ₁ = C + R = 12.55 MPa

σ₂ = C − R = −338.5 MPa

Jawapan

σ₁ = 12.55 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.02914 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·9346 = 1.373 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 50000·800/1.373 × 10⁹ = 0.02914 mm

Jawapan

δ = 0.02914 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 382 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 244.5 MPa

σ₂ = 382 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 382 MPa

Jawapan

σ_max = 382 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 128.5 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·1000 = 1000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1000² = 128510 N = 128.5 kN

Jawapan

P_cr = 128.5 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 12.34 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/5 = 400

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

Jawapan

σ_cr = 12.34 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.06014

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/4)·ln(30/6.6) = 0.3785

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3785/√(39.48 + 0.1433) = 0.06014

Jawapan

ζ = 0.06014

12.Getaran mekanikal

Jawapan: k_eq = 13.33 kN/m

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/20 → k_eq = 40·20/(40 + 20) = 13.33 kN/m

Jawapan

k_eq = 13.33 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design