Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
d1​ = 150 mmd2​ = 200 mm2880 rpmn2​ = ?

Takal 150 mm pada 2880 rpm memacu takal 200 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 1.5 %. Cari laju n2 takal yang dipacu.

n1 = 2880 rpmd1 = 150 mmd2 = 200 mms = 1.5 %
n2 = rpm
2.Gear & rangkaian gearSukar
d1​ = 200 mmd2​ = 450 mm1500 rpmC = 500 mmT1​ = 1000 NT2​P = ?

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 200 mm pada 1500 rpm kepada takal 450 mm; pusatnya berjarak 500 mm. Pekali geseran ialah 0.3 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 1000 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d1 = 200 mmn1 = 1500 rpmd2 = 450 mmC = 500 mmμ = 0.3T1 = 1000 N
P = kW
3.Kilasan aciSederhana
do​ = ?T = 1000 N·m

Aci berongga mesti membawa tork 1000 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.75 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 1000 N·mdi/do = 0.75τallow = 75 MPa
do = mm
4.Kilasan aciSukar
d = 60 mmT0​ = 1000 N·mACBa = 3 mb = 1.2 m

Aci loyang pepejal berdiameter 60 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 1000 N·m dikenakan pada C, 3 m dari A dan 1.2 m dari B. Cari tegasan ricih maksimum τmax dalam aci.

d = 60 mmT0 = 1000 N·ma = 3 mb = 1.2 m
τmax = MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = −10σy​ = 90MPaτxy​ = ?

Satu titik mempunyai σₓ = −10 MPa dan σᵧ = 90 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τxy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 110 MPa?

σx = −10 MPaσy = 90 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = 10σy​ = −70τxy​ = 30MPa

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 10 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Cari tegasan setara von Mises σvM.

σx = 10 MPaσy = −70 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Ø 20 mmLoyang2 mP = 60 kN

Cari pemanjangan δ bagi bar loyang di bawah beban paksi itu.

P = 60 kNd = 20 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
Ø 35 mmAluminium2 mØ 20 mmLoyang1.5 mP = 80 kN

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σmax dalam bar itu.

P = 80 kNsegmen 1: Ø35 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 4 md = 25 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 4 md = 20 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
k = 5 kN/mζ = 0.4m = 15 kg

Jisim 15 kg pada spring berkekakuan 5 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.4. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 15 kgk = 5 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 30k2​ = 20k3​ = 80m = 50 kg

Jisim 50 kg tergantung pada spring k₃ = 80 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 20 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii fn getaran menegak dalam Hz.

m = 50 kgk1 = 30 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 80 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n2 = 2128 rpm

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tanpa gelinciran

2880·150/200 = 2160 rpm

Dengan gelinciran

n2 = 2160·0.985 = 2128 rpm

Jawapan

n2 = 2128 rpm
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 8.585 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut lilitan

θ = 2.636 rad

Tegangan sisi kendur

eμθ = e0.7909 = 2.205, T₂ = 1000/2.205 = 453.5 N

Kuasa

P = (1000 − 453.5)·15.71 = 8.585 kW

Jawapan

P = 8.585 kW
3.Kilasan aci

Jawapan: do = 46.31 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·75·0.6836)) = 46.31 mm
di = 0.75·46.31 = 34.73 mm

Jawapan

do = 46.31 mm

Aci pepejal memerlukan d = 40.8 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: τmax = 16.84 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan TA + TB = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·1.2/4.2 = 285.7 N·m
TB = 1000·3/4.2 = 714.3 N·m

Tegasan ricih maksimum

Tork yang lebih besar daripada kedua-duanya menentukan (diameter sama).

τmax = 16·714286/(π·60³) = 16.84 MPa

Jawapan

τmax = 16.84 MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τxy = 48.99 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari yang diperlukan

C = (−10 + 90)/2 = 40 MPa
R = σ1 − C = 110 − 40 = 70 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegasan ricih

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 50²) = 48.99 MPa

Jawapan

τxy = 48.99 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σvM = 91.65 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegasan utama

C = −30 MPa, R = 50 MPa
σ1 = 20 MPa, σ2 = −80 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(20² − 20·(−80) + (−80)²) = 91.65 MPa

Jawapan

σvM = 91.65 MPa
7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 3.82 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 60·1000/314.2 = 191 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 191/100000 = 0.00191 = 1910 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.00191·2000 mm = 3.82 mm

Jawapan

δ = 3.82 mm
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σmax = 254.6 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 83.15 MPa
σ2 = 254.6 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σmax = 254.6 MPa

Jawapan

σmax = 254.6 MPa
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 9.462 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9.462 kN

Jawapan

Pcr = 9.462 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 12.34 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/5 = 400

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

Jawapan

σcr = 12.34 MPa
11.Getaran mekanikal

Jawapan: fd = 2.663 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ωn = √(5000/15) = 18.26 rad/s
fn = 18.26/(2π) = 2.906 Hz

Frekuensi tabii teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.906·√(1 − 0.4²) = 2.663 Hz

Jawapan

fd = 2.663 Hz
12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 3.948 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Hanya k1 dan k2 yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k3, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k12 = 30 + 20 = 50 kN/m
keq = 50·80/(50 + 80) = 30.77 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(30769/50) = 24.81 rad/s
fn = 24.81/(2π) = 3.948 Hz

Jawapan

fn = 3.948 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design