Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 125 mm pada 720 rpm. Tegangannya ialah 600 N pada sisi kencang dan 150 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 600 NT₂ = 150 N

P = kW

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 125 mm pada 1450 rpm kepada takal 300 mm; pusatnya berjarak 1200 mm. Pekali geseran ialah 0.25 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 1000 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 300 mmC = 1200 mmμ = 0.25T₁ = 1000 N

P = kW

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 750 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal memindahkan 10 kW pada 500 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 80 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.25° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 30 MPa, σᵧ = −10 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 30 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 45° ikut arah jam dari paksi-x.

σ_x = 0 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 15 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 20 kNsegmen 1: Ø40 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0.5 m, loyang (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 45 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 45 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 250 kg disokong oleh spring berkekakuan 200 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 8490 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 250 kgk = 200 kN/mc = 8490 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 5 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 10 kN/m dan k₂ = 25 kN/m. Jisim kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 2.121 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 4.712 m/s

Kuasa

P = (600 − 150)·4.712 = 2121 W = 2.121 kW

Jawapan

P = 2.121 kW

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 5.002 kW

Sudut lilitan

θ = 2.996 rad

Tegangan sisi kendur

e^μθ = e^0.7489 = 2.115, T₂ = 1000/2.115 = 472.9 N

Kuasa

P = (1000 − 472.9)·9.49 = 5.002 kW

Jawapan

P = 5.002 kW

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 6.734 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(26000·613592) = 0.1175 rad

φ = 0.1175·180/π = 6.734°

Jawapan

φ = 6.734°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 48.59 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·80)) = 22.99 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 48.59 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(22.99, 48.59) = 48.59 mm

Jawapan

d = 48.59 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 28.15 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 30 − −10) = 56.31°

Sudut pada unsur

θ_p = 28.15°

Jawapan

θ_p = 28.15°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −10 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 10 + −10·0 + 20·−1 = −10 MPa

Jawapan

σ_θ = −10 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.594 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 15·1000/201.1 = 74.6 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 74.6/117000 = 0.0006376 = 637.6 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.0006376·2500 mm = 1.594 mm

Jawapan

δ = 1.594 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.043 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 15.92 MPa

σ₂ = 176.8 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 15.92·2000/200000 = 0.1592 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 176.8·500/100000 = 0.8842 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1.043 mm

Jawapan

δ = 1.043 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 12.85 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/4000² = 12851 N = 12.85 kN

Jawapan

P_cr = 12.85 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 53.77 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 53.77 mm

Jawapan

d = 53.77 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 223.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.6003

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·250) = 14142 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 8490/14142 = 0.6003

Jawapan

ζ = 0.6003

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 13.32 Hz

Kekakuan setara

Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 25 = 35 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(35000/5) = 83.67 rad/s

f_n = 83.67/(2π) = 13.32 Hz

Jawapan

f_n = 13.32 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design