Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 160 mm pada 960 rpm. Tegangannya ialah 1200 N pada sisi kencang dan 360 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 360 N

P = kW

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 80 mm pada 1450 rpm kepada takal 400 mm; pusatnya berjarak 800 mm. Pekali geseran ialah 0.3 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 1200 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d₁ = 80 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 400 mmC = 800 mmμ = 0.3T₁ = 1200 N

P = kW

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 20 mm dipiuh oleh tork 100 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 400 mm berputar 5.61° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 100 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 5.61°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal memindahkan 75 kW pada 300 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 80 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.75° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 75 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0.75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 90 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 20° ikut arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = 90 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 25 mm membawa daya mampatan paksi 10 kN bersama-sama dengan tork 200 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

d = 25 mmF = −10 kNT = 200 N·m

τ_max = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar loyang, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 15 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 40 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 40 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 10 kg disokong oleh spring berkekakuan 100 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 200 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 10 kgk = 100 kN/mc = 200 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 25 kg tergantung pada spring k₃ = 80 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 20 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 6.756 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 8.042 m/s

Kuasa

P = (1200 − 360)·8.042 = 6756 W = 6.756 kW

Jawapan

P = 6.756 kW

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 4.084 kW

Sudut lilitan

θ = 2.739 rad

Tegangan sisi kendur

e^μθ = e^0.8217 = 2.274, T₂ = 1200/2.274 = 527.6 N

Kuasa

P = (1200 − 527.6)·6.074 = 4.084 kW

Jawapan

P = 4.084 kW

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 26.01 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 5.61·π/180 = 0.09791 rad

Modulus ricih

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·400/(15708·0.09791) = 26008 MPa

G = 26.01 GPa

Jawapan

G = 26.01 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 91.94 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 2387 N·m = 2.387 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·2.387 × 10⁶/(π·80)) = 53.37 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·2.387 × 10⁶/(π·26000·1.309 × 10⁻⁵))^1/4 = 91.94 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(53.37, 91.94) = 91.94 mm

Jawapan

d = 91.94 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = 56.3 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = 60 − 30·0.766 − 30·(−0.6428) = 56.3 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 63.7 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 120 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = 56.3 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 65.98 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = −10000/(π·25²/4) = −10000/490.9 = −20.37 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·25³) = 65.19 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = −10.19 MPa

R = √((−10.19)² + 65.19²) = 65.98 MPa

Jawapan

τ_max = 65.98 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 1326 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 15·1000/113.1 = 132.6 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 132.6/100000 = 0.001326 = 1326 µε

Jawapan

ε = 1326 µε

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 4.108 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 21.22 MPa

σ₂ = 132.6 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 21.22·1500/100000 = 0.3183 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 132.6·2000/70000 = 3.789 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4.108 mm

Jawapan

δ = 4.108 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 40.8 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1050² = 40797 N = 40.8 kN

Jawapan

P_cr = 40.8 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 42.63 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 42.63 mm

Jawapan

d = 42.63 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 187.7, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.1

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·10) = 2000 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 200/2000 = 0.1

Jawapan

ζ = 0.1

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 5.402 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 25 + 20 = 45 kN/m

k_eq = 45·80/(45 + 80) = 28.8 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(28800/25) = 33.94 rad/s

f_n = 33.94/(2π) = 5.402 Hz

Jawapan

f_n = 5.402 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design