Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 5.5 kW yang berputar pada 1500 rpm memacu pinion 24 gigi, yang bertaut dengan gear 60 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 98%. Cari tork keluaran T₂ pada aci gear.

P = 5.5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 24N₂ = 60η = 98%

T₂ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 160 mm pada 1450 rpm kepada takal 400 mm; pusatnya berjarak 600 mm. Pekali geseran ialah 0.35 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 600 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d₁ = 160 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 400 mmC = 600 mmμ = 0.35T₁ = 600 N

P = kW

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci loyang pepejal berdiameter 50 mm terikat pada A. Tork 750 N·m bertindak pada B, 0.8 m dari A, dan tork 500 N·m dalam arah yang sama bertindak pada hujung bebas C, 0.5 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 50 mmT_B = 750 N·mT_C = 500 N·mAB = 0.8 mBC = 0.5 m

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 50 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 10 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 25° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar loyang di bawah beban paksi itu.

P = 20 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 35 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0.5 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0.5 m, keluli (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 50 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 50 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 25 mm diikuti 2 kitaran kemudian oleh puncak 9.1 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 25 mmx₂ = 9.1 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 100 kg tergantung pada spring k₃ = 80 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 5 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₂ = 85.78 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/157.1 = 35.01 N·m

Tork keluaran

T₂ = 35.01·60/24·0.98 = 85.78 N·m

Jawapan

T₂ = 85.78 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 4.494 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut lilitan

θ = 2.739 rad

Tegangan sisi kendur

e^μθ = e^0.9586 = 2.608, T₂ = 600/2.608 = 230.1 N

Kuasa

P = (600 − 230.1)·12.15 = 4.494 kW

Jawapan

P = 4.494 kW

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 10.13 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(80000·79522) = 0.1768 rad

φ = 0.1768·180/π = 10.13°

Jawapan

φ = 10.13°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 50.93 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 750 = 1250 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 1250 N·m

τ_max = 16·1.25 × 10⁶/(π·50³) = 50.93 MPa

Jawapan

τ_max = 50.93 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −84.35 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = −50/50.99 = −0.9806, sin 2θ_s = −10/50.99 = −0.1961

2θ_s = atan2(−10, −50) = −168.7°

Sudut pada unsur

θ_s = −84.35°

semakan: θ_s − θ_p = −84.35 − (−39.35) = −45°

Jawapan

θ_s = −84.35°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 7.182 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 45 + −35·0.6428 + −20·0.766 = 7.182 MPa

Jawapan

σ_θ = 7.182 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.8842 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 20·1000/113.1 = 176.8 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 176.8/100000 = 0.001768 = 1768 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.001768·500 mm = 0.8842 mm

Jawapan

δ = 0.8842 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 111.4 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 36.38 MPa

σ₂ = 111.4 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 111.4 MPa

Jawapan

σ_max = 111.4 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 29.24 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/6000² = 29243 N = 29.24 kN

Jawapan

P_cr = 29.24 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 55.21 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 55.21 mm

Jawapan

d = 55.21 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 217.4, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.08016

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/2)·ln(25/9.1) = 0.5053

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5053/√(39.48 + 0.2553) = 0.08016

Jawapan

ζ = 0.08016

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 3.391 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 100 + 5 = 105 kN/m

k_eq = 105·80/(105 + 80) = 45.41 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(45405/100) = 21.31 rad/s

f_n = 21.31/(2π) = 3.391 Hz

Jawapan

f_n = 3.391 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design