Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
d1​ = 160 mmd2​ = 400 mm1440 rpmT1​ = 600 NT2​ = 240 NP = ?

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 160 mm pada 1440 rpm. Tegangannya ialah 600 N pada sisi kencang dan 240 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d1 = 160 mmn1 = 1440 rpmT1 = 600 NT2 = 240 N
P = kW
2.Gear & rangkaian gearSukar
d1​ = 200 mmd2​ = 300 mm720 rpmC = 500 mmT1​ = 800 NT2​P = ?

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 200 mm pada 720 rpm kepada takal 300 mm; pusatnya berjarak 500 mm. Pekali geseran ialah 0.3 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 800 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d1 = 200 mmn1 = 720 rpmd2 = 300 mmC = 500 mmμ = 0.3T1 = 800 N
P = kW
3.Kilasan aciSederhana
d = 15 mmT = 20 N·m400 mmφ = 1.15°

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 15 mm dipiuh oleh tork 20 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 400 mm berputar 1.15° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 20 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 1.15°
G = GPa
4.Kilasan aciSukar
d = 50 mmTB​ = 2000 N·mTC​ = 400 N·mABC0.5 m0.5 m

Aci loyang pepejal berdiameter 50 mm terikat pada A. Tork 2000 N·m bertindak pada B, 0.5 m dari A, dan tork 400 N·m dalam arah yang sama bertindak pada hujung bebas C, 0.5 m lagi ke hadapan. Cari magnitud sudut kilasan φC hujung C, dalam darjah.

d = 50 mmTB = 2000 N·mTC = 400 N·mAB = 0.5 mBC = 0.5 mG = 39 GPa
φC = °
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = 70σy​ = 50τxy​ = −10MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 70 MPa, σᵧ = 50 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.

σx = 70 MPaσy = 50 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = 60σy​ = 10τxy​ = 10MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 60 MPa, σᵧ = 10 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σθ pada satah yang normalnya diputar 15° lawan arah jam dari paksi-x.

σx = 60 MPaσy = 10 MPaτxy = 10 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Ø 16 mmKuprum3 mP = 110 kN

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 110 kNd = 16 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
P = ?Ø30110 GPaØ100/50300 mm

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 250 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa, tegasan dibenarkan 70 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar Pmax.

rod: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPatiub: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 1.5 md = 40 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 2.5 md = 50 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
tx50 mm3 kitaran5.1 mm

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 50 mm diikuti 3 kitaran kemudian oleh puncak 5.1 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x0 = 50 mmx3 = 5.1 mmn = 3
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 50k2​ = 5k3​ = 15m = 20 kg

Jisim 20 kg tergantung pada spring k₃ = 15 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 50 kN/m dan k₂ = 5 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii fn getaran menegak dalam Hz.

m = 20 kgk1 = 50 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 15 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 4.343 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 12.06 m/s

Kuasa

P = (600 − 240)·12.06 = 4343 W = 4.343 kW

Jawapan

P = 4.343 kW
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 3.536 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut lilitan

θ = 2.941 rad

Tegangan sisi kendur

eμθ = e0.8824 = 2.417, T₂ = 800/2.417 = 331 N

Kuasa

P = (800 − 331)·7.54 = 3.536 kW

Jawapan

P = 3.536 kW
3.Kilasan aci

Jawapan: G = 80.2 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 1.15·π/180 = 0.02007 rad

Modulus ricih

T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·400/(4970·0.02007) = 80195 MPa
G = 80.2 GPa

Jawapan

G = 80.2 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: φC = 3.352 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork dalaman

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC + TB = 400 + 2000 = 2400 N·m

Kilasan setiap segmen

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 2.4 × 10⁶·500/(39000·613592) = 0.05015 rad
φBC = 400000·500/(39000·613592) = 0.008358 rad

Kilasan hujung C

φC = 0.05015 + 0.008358 = 0.0585 rad → |φC| = 3.352°

Jawapan

φC = 3.352°
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τmax = 14.14 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

σxyCτmax​

Jejari bulatan Mohr

τmax = R = √(((70 − 50)/2)² + −10²) = 14.14 MPa

Jawapan

τmax = 14.14 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σθ = 61.65 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi

σθ = 35 + 25·0.866 + 10·0.5 = 61.65 MPa

Jawapan

σθ = 61.65 MPa
7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 14.03 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 110·1000/201.1 = 547.1 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 547.1/117000 = 0.004676 = 4676 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.004676·3000 mm = 14.03 mm

Jawapan

δ = 14.03 mm
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: Pmax = 502.3 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·5890 = 7.893 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.00125, 0.0006364) = 0.0006364 (gangsa)

Beban terbesar

Pmax = 0.0006364·7.893 × 10⁸ = 502298 N = 502.3 kN

Jawapan

Pmax = 502.3 kN
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 78.75 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1050² = 78746 N = 78.75 kN

Jawapan

Pcr = 78.75 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 12.34 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/12.5 = 400

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

Jawapan

σcr = 12.34 MPa
11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.1202

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/3)·ln(50/5.1) = 0.7609

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7609/√(39.48 + 0.579) = 0.1202

Jawapan

ζ = 0.1202
12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 3.864 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Hanya k1 dan k2 yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k3, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k12 = 50 + 5 = 55 kN/m
keq = 55·15/(55 + 15) = 11.79 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(11786/20) = 24.28 rad/s
fn = 24.28/(2π) = 3.864 Hz

Jawapan

fn = 3.864 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design