Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Takal 150 mm pada 960 rpm memacu takal 300 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 2.5 %. Cari laju n₂ takal yang dipacu.

n₁ = 960 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 300 mms = 2.5 %

n₂ = rpm

2.Gear & rangkaian gearSukar

Sebuah motor 3 kW pada 2900 rpm menggerakkan gear A (25 gigi), yang bersalingan dengan gear B (32 gigi). Gear C (15 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (18 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 96%. Cari tork keluaran T_out.

P = 3 kWn_in = 2900 rpmA = 25B = 32C = 15D = 18η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 250 N·md = 30 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 75 kW pada 1450 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 75 kWN = 1450 rpmd_o = 100 mmd_i = 75 mm

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 10 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 100 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 275 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria Tresca (tegasan ricih maksimum).

σ_x = 110 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 115 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 50 mm, panjang 500 mm, E = 120 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 100 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 40 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 40 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 40 mm diikuti 2 kitaran kemudian oleh puncak 14.6 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 40 mmx₂ = 14.6 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 50 kg tergantung pada spring k₃ = 30 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 100 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n₂ = 468 rpm

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tanpa gelinciran

960·150/300 = 480 rpm

Dengan gelinciran

n₂ = 480·0.975 = 468 rpm

Jawapan

n₂ = 468 rpm

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T_out = 13.98 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju keluaran

n_out = 2900·(25/32)·(15/18) = 1888 rpm

ω_out = 2π·1888/60 = 197.7 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

P_out = 3000·0.96² = 2765 W

T_out = P_out/ω_out = 2765/197.7 = 13.98 N·m

Jawapan

T_out = 13.98 N·m

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 9.237 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(39000·79522) = 0.1612 rad

φ = 0.1612·180/π = 9.237°

Jawapan

φ = 9.237°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 3.68 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 75000/151.8 = 493.9 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(100⁴ − 75⁴)/32 = 6.711 × 10⁶ mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 493929·50/6.711 × 10⁶ = 3.68 MPa

Jawapan

τ_max = 3.68 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −16.85 °

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 30/36.06 = 0.8321, sin 2θ_s = −20/36.06 = −0.5547

2θ_s = atan2(−20, 30) = −33.69°

Sudut pada unsur

θ_s = −16.85°

semakan: θ_s − θ_p = −16.85 − 28.15 = −45°

Jawapan

θ_s = −16.85°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 1.892

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 105 MPa, R = 40.31 MPa

σ₁ = 145.3 MPa, σ₂ = 64.69 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 145.3 MPa

n = 275/145.3 = 1.892

Jawapan

n = 1.892

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 7.844 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 115·1000/314.2 = 366.1 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 366.1/70000 = 0.005229 = 5229 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.005229·1500 mm = 7.844 mm

Jawapan

δ = 7.844 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 33.49 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 120000·1963/500 = 471239 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 100000·471239/716676 = 65753 N

Tegasan

σ₂ = 65753/1963 = 33.49 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 33.49 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 12.02 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4200² = 12016 N = 12.02 kN

Jawapan

P_cr = 12.02 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 86.74 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 86.74 mm

Jawapan

d = 86.74 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 184.5, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.07995

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/2)·ln(40/14.6) = 0.5039

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5039/√(39.48 + 0.2539) = 0.07995

Jawapan

ζ = 0.07995

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 3.635 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 100 + 100 = 200 kN/m

k_eq = 200·30/(200 + 30) = 26.09 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(26087/50) = 22.84 rad/s

f_n = 22.84/(2π) = 3.635 Hz

Jawapan

f_n = 3.635 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design