Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 2.2 kW pada 1440 rpm menggerakkan cacing dengan 3 permulaan. Roda cacing mempunyai 30 gigi dan pemacu itu berkecekapan 60%. Cari tork keluaran T_w pada aci roda.

z = 3N_w = 30n = 1440 rpmP = 2.2 kWη = 60%

T_w = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam set gear planet, gear suria mempunyai 18 gigi dan setiap gear planet mempunyai 18 gigi. Pembawa planet ditahan tetap dan gear suria digerakkan pada 1200 rpm. Cari laju n_r gear anulus (magnitud).

N_s = 18N_p = 18n_s = 1200 rpm

n_r = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 250 N·md = 25 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci loyang pepejal berdiameter 60 mm terikat pada A. Tork 100 N·m bertindak pada B, 2 m dari A, dan tork 200 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 2 m lagi ke hadapan. Cari magnitud sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

d = 60 mmT_B = 100 N·mT_C = 200 N·mAB = 2 mBC = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 40 MPa, σᵧ = 60 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 1000 mm dan ketebalan dinding 12 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 2 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 30° kepada paksi silinder. Cari magnitud tegasan ricih |τ_n| yang bertindak di sepanjang kelim kimpalan.

D = 1000 mmt = 12 mmp = 2 MPaα = 30°

|τ_n| = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada gangsa (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 110 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.4 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: gangsa, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 150 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 110 GPa, tegasan dibenarkan 80 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatiub: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 120 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 120 kNn = 3L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 100 kg pada spring berkekakuan 10 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.5. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 100 kgk = 10 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 50 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 5 kN/m dan spring bawah k₂ = 100 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T_w = 87.54 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju roda

n_w = n·z/N_w = 1440·3/30 = 144 rpm

Tork keluaran

ω_w = 2π·144/60 = 15.08 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.6·2200/15.08 = 87.54 N·m

Jawapan

T_w = 87.54 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_r = 400 rpm

Set gear planet: laju gear suria, anulus dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set itu ialah susunan gear biasa dengan planet sebagai gear perantara. Menahan satu ahli tetap menjadikan set itu pengurang nisbah tunggal.

Gigi gear anulus

N_r = N_s + 2·N_p = 18 + 2·18 = 54

Persamaan Willis dengan pembawa tetap

Dengan n_c = 0 gear suria menggerakkan anulus melalui planet, yang bertindak sebagai gear perantara.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1200·18/54 = −400 rpm

|n_r| = 400 rpm

Jawapan

n_r = 400 rpm

Anulus berputar berlawanan dengan gear suria.

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 9.338 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(80000·38350) = 0.163 rad

φ = 0.163·180/π = 9.338°

Jawapan

φ = 9.338°

4.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 0.6928 °

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 100 = 100 N·m

Kilasan setiap segmen

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 100000·2000/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.004031 rad

φ_BC = 200000·2000/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.008061 rad

Kilasan hujung C

φ_C = 0.004031 + 0.008061 = 0.01209 rad → |φ_C| = 0.6928°

Jawapan

φ_C = 0.6928°

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 31.62 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((40 − 60)/2)² + 30²) = 31.62 MPa

Jawapan

τ_max = 31.62 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: |τ_n| = 18.04 MPa

Tegasan dinding

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 2·500/12 = 83.33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 41.67 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

|τ_n| = (83.33 − 41.67)·sin 30°·cos 30° = 18.04 MPa

Jawapan

|τ_n| = 18.04 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 59.81 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·706.9) = 3.858 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.4/6.688 × 10⁻⁶ = 59811 N = 59.81 kN

Jawapan

P = 59.81 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 779.7 kN

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·7461 = 1.072 × 10⁹ N

Terikan penentu

ε = min(0.00075, 0.0007273) = 0.0007273 (gangsa)

Beban terbesar

P_max = 0.0007273·1.072 × 10⁹ = 779686 N = 779.7 kN

Jawapan

P_max = 779.7 kN

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 50.76 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1750² = 50758 N = 50.76 kN

Jawapan

P_cr = 50.76 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 76.04 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·120000 = 360000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 76.04 mm

Jawapan

d = 76.04 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 157.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 1.378 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(10000/100) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1.592 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.5²) = 1.378 Hz

Jawapan

f_d = 1.378 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 1.553 Hz

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/100 → k_eq = 5·100/(5 + 100) = 4.762 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(4762/50) = 9.759 rad/s

f_n = 9.759/(2π) = 1.553 Hz

Jawapan

f_n = 1.553 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design