Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Dua aci selari berjarak 200 mm. Kedua-duanya mesti disambung dengan sepasang gear taji bermodul 5 mm dan pengurangan laju 4 : 1. Berapakah bilangan gigi N₂ yang mesti dimiliki oleh gear?

a = 200 mmm = 5 mmi = 4

N₂ =

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 120 mm pada 1440 rpm kepada takal 200 mm; pusatnya berjarak 1200 mm. Pekali geseran ialah 0.3 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 1500 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d₁ = 120 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 200 mmC = 1200 mmμ = 0.3T₁ = 1500 N

P = kW

3.Kilasan aciSederhana

Aci loyang berongga (diameter luar 80 mm, diameter dalam 48 mm, panjang 2.5 m) terikat pada satu hujung dan dipiuh oleh tork 750 N·m pada hujung yang satu lagi. Cari sudut kilasan φ dalam darjah.

T = 750 N·md_o = 80 mmd_i = 48 mmL = 2.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 20 mm terikat pada A. Tork 400 N·m bertindak pada B, 2 m dari A, dan tork 100 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 1.5 m lagi ke hadapan. Cari magnitud sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

d = 20 mmT_B = 400 N·mT_C = 100 N·mAB = 2 mBC = 1.5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 50 MPa dan σᵧ = 20 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τ_xy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 60 MPa?

σ_x = 50 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 60 MPa

τ_xy = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 20 mm membawa daya tegangan paksi 60 kN bersama-sama dengan tork 400 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 20 mmF = 60 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 70 GPa). Kedua-duanya sepanjang 600 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNrod: Ø20 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 20 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1.5 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 100 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 100 kNn = 2.5L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 10 mm diikuti 4 kitaran kemudian oleh puncak 6 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 10 mmx₄ = 6 mmn = 4

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 5 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 25 kN/m. Jisim kekal mendatar. Cari kekakuan setara k_eq sistem spring dalam kN/m.

m = 5 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N₂ = 64

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Jumlah bilangan gigi

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·200/5 = 80

Bahagikan mengikut nisbah

N₁ = 80/(1 + 4) = 16

N₂ = 4·16 = 64

Jawapan

N₂ = 64

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 8.176 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut lilitan

θ = 3.075 rad

Tegangan sisi kendur

e^μθ = e^0.9225 = 2.516, T₂ = 1500/2.516 = 596.3 N

Kuasa

P = (1500 − 596.3)·9.048 = 8.176 kW

Jawapan

P = 8.176 kW

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.787 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3.5 × 10⁶ mm⁴

Sudut piuhan

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 2.5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·2500/(39000·3.5 × 10⁶) = 0.01374 rad

φ = 0.01374·180/π = 0.787°

Jawapan

φ = 0.787°

4.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 20.52 °

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 400 = −300 N·m

Kilasan setiap segmen

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −300000·2000/(80000·15708) = −0.4775 rad

φ_BC = 100000·1500/(80000·15708) = 0.1194 rad

Kilasan hujung C

φ_C = −0.4775 + 0.1194 = −0.3581 rad → |φ_C| = 20.52°

Jawapan

φ_C = 20.52°

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_xy = 20 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari yang diperlukan

C = (50 + 20)/2 = 35 MPa

R = σ₁ − C = 60 − 35 = 25 MPa

Tegasan ricih

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(25² − 15²) = 20 MPa

Jawapan

τ_xy = 20 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 367.5 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = 60000/(π·20²/4) = 60000/314.2 = 191 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·20³) = 254.6 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 95.49 MPa

R = √(95.49² + 254.6²) = 272 MPa

σ₁ = C + R = 367.5 MPa

σ₂ = C − R = −176.5 MPa

Jawapan

σ₁ = 367.5 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.3157 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·5890 = 4.752 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 250000·600/4.752 × 10⁸ = 0.3157 mm

Jawapan

δ = 0.3157 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 63.66 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 20.79 MPa

σ₂ = 63.66 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 63.66 MPa

Jawapan

σ_max = 63.66 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 13.25 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·1000 = 1000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1000² = 13247 N = 13.25 kN

Jawapan

P_cr = 13.25 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 104.2 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·100000 = 250000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 104.2 mm

Jawapan

d = 104.2 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 153.5, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.02032

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/4)·ln(10/6) = 0.1277

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1277/√(39.48 + 0.01631) = 0.02032

Jawapan

ζ = 0.02032

12.Getaran mekanikal

Jawapan: k_eq = 40 kN/m

Kekakuan setara

Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 25 = 40 kN/m

Jawapan

k_eq = 40 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design