Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
N1​ = 20N2​ = 24

Sebuah motor 5.5 kW yang berputar pada 1450 rpm memacu pinion 20 gigi, yang bertaut dengan gear 24 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 95%. Cari tork keluaran T2 pada aci gear.

P = 5.5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 20N2 = 24η = 95%
T2 = N·m
2.Gear & rangkaian gearSukar
A = 18B = 32C = 15D = 45

Sebuah motor 3 kW pada 1440 rpm menggerakkan gear A (18 gigi), yang bersalingan dengan gear B (32 gigi). Gear C (15 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (45 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 95%. Cari tork keluaran Tout.

P = 3 kWnin = 1440 rpmA = 18B = 32C = 15D = 45ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.Kilasan aciSederhana
do​ = ?T = 1500 N·m

Aci berongga mesti membawa tork 1500 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.8 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 1500 N·mdi/do = 0.8τallow = 80 MPa
do = mm
4.Kilasan aciSukar
d = ?15 kW, 1500 rpm

Aci keluli pepejal memindahkan 15 kW pada 1500 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 80 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.75° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 15 kWN = 1500 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0.75°/mG = 80 GPa
d = mm
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = 110σy​ = 100τxy​ = −30MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 110 MPa, σᵧ = 100 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.

σx = 110 MPaσy = 100 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = −60σy​ = 120τxy​ = −60MPa

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (σz = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 275 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria Tresca (tegasan ricih maksimum).

σx = −60 MPaσy = 120 MPaτxy = −60 MPaσY = 275 MPa
n =
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
P = ?12600 mm200 mmØ25Ø30δ = 0.25 mm

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.25 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.Tegasan & terikan paksiSukar
100 kN12500 mm200 mmØ25Ø30σ2​ = ?

Segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 100 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ2 dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 6 m40 × 80 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 1 md = 30 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
k = 40 kN/mc = 150 N·s/mm = 15 kg

Jisim 15 kg disokong oleh spring berkekakuan 40 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 150 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 15 kgk = 40 kN/mc = 150 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 5k2​ = 5m = 5 kg

Jisim 5 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 5 kN/m dan spring bawah k₂ = 5 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 5 kgk1 = 5 kN/mk2 = 5 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T2 = 41.29 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/151.8 = 36.22 N·m

Tork keluaran

T2 = 36.22·24/20·0.95 = 41.29 N·m

Jawapan

T2 = 41.29 N·m
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: Tout = 95.76 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju keluaran

nout = 1440·(18/32)·(15/45) = 270 rpm
ωout = 2π·270/60 = 28.27 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

Pout = 3000·0.95² = 2708 W
Tout = Pout/ωout = 2708/28.27 = 95.76 N·m

Jawapan

Tout = 95.76 N·m
3.Kilasan aci

Jawapan: do = 54.48 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.5 × 10⁶/(π·80·0.5904)) = 54.48 mm
di = 0.8·54.48 = 43.59 mm

Jawapan

do = 54.48 mm

Aci pepejal memerlukan d = 45.71 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 31.04 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 15000/157.1 = 95.49 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 95.49 N·m = 95493 N·mm
dτ = ∛(16·95493/(π·80)) = 18.25 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·95493/(π·80000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 31.04 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(18.25, 31.04) = 31.04 mm

Jawapan

d = 31.04 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τmax = 30.41 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

σxyCτmax​

Jejari bulatan Mohr

τmax = R = √(((110 − 100)/2)² + −30²) = 30.41 MPa

Jawapan

τmax = 30.41 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 1.271

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegasan utama

C = 30 MPa, R = 108.2 MPa
σ1 = 138.2 MPa, σ2 = −78.17 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 216.3 MPa
n = 275/216.3 = 1.271

Jawapan

n = 1.271

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 24.62 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706.9) = 4.042 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.25/1.015 × 10⁻⁵ = 24622 N = 24.62 kN

Jawapan

P = 24.62 kN
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ2 = 90.95 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm
k₂ = 100000·706.9/200 = 353429 N/mm

Bahagian segmen 2

F2 = 100000·353429/549779 = 64286 N

Tegasan

σ2 = 64286/706.9 = 90.95 MPa (mampatan)

Jawapan

σ2 = 90.95 MPa
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 16.71 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/4200² = 16710 N = 16.71 kN

Jawapan

Pcr = 16.71 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 111 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7.5 = 133.3

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa

Jawapan

σcr = 111 MPa
11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.09682

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

cc = 2·√(k·m) = 2·√(40000·15) = 1549 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/cc = 150/1549 = 0.09682

Jawapan

ζ = 0.09682

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 3.559 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/5 + 1/5 → keq = 5·5/(5 + 5) = 2.5 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(2500/5) = 22.36 rad/s
fn = 22.36/(2π) = 3.559 Hz

Jawapan

fn = 3.559 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design